与えられた行列による変換で、平面 $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ がどのような図形になるかを求める問題です。行列は $ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた行列による変換で、平面 $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ がどのような図形になるかを求める問題です。行列は

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 2 \\

2 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を $A$ とします。

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 2 \\

2 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

元の座標を $(x, y, z)$ 、変換後の座標を $(x', y', z')$ とします。

すると、$A$ による変換は次のように表されます。

$$

\begin{pmatrix}

x' \\

y' \\

z'

\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix}

$$

これを $x, y, z$ について解きます。逆行列 $A^{-1}$ を求める必要があります。

$A$ の逆行列は、

$$

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}

3 & 1 & -2 \\

-4 & 1 & 2 \\

2 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

ここで $\det(A) = 1(1+2) - (-1)(0-4) + 0 = 3 - 4 = -1$ なので、

$$

A^{-1} = \begin{pmatrix}

-3 & -1 & 2 \\

4 & -1 & -2 \\

-2 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

よって、

$$

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix}

x' \\

y' \\

z'

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

-3 & -1 & 2 \\

4 & -1 & -2 \\

-2 & -1 & 1

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

x' \\

y' \\

z'

\end{pmatrix}

$$

したがって、

$$

x = -3x' - y' + 2z' \\

y = 4x' - y' - 2z' \\

z = -2x' - y' + z'

$$

これを元の平面の方程式 $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ に代入します。

$$

2(-3x' - y' + 2z') + 3(4x' - y' - 2z') - 3(-2x' - y' + z') - 6 = 0 \\

-6x' - 2y' + 4z' + 12x' - 3y' - 6z' + 6x' + 3y' - 3z' - 6 = 0 \\

12x' - 2y' - 5z' - 6 = 0

$$

よって、変換後の平面の方程式は $12x' - 2y' - 5z' - 6 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

平面 $12x - 2y - 5z - 6 = 0$