$a$は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 1 = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

これは、頂点が $(1, 2)$ で上に凸の放物線です。

場合分けをします。

(i) $0 < a < 1$ のとき、定義域 $0 \le x \le a$ において、関数は単調増加です。したがって、$x=a$ で最大値をとり、最大値は $y = -a^2 + 2a + 1$です。

(ii) $a = 1$ のとき、$x=a=1$で最大値をとり、最大値は $y = -1^2 + 2\cdot 1 + 1 = 2$ です。

(iii) $1 < a$ のとき、頂点 $(1, 2)$ が定義域に含まれます。したがって、$x=1$ で最大値をとり、最大値は $y=2$ です。

まとめると、

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$です。

$1 < a$ のとき、最大値は $2$です。

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$。

$1 < a$ のとき、最大値は $2$。