与えられた基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が対称移動によってどのように移されるかを調べることで、以下の対称移動変換の行列を求めます。 (1) $x$軸に関する対称移動 (2) $y$軸に関する対称移動 (3) 直線 $y=x$ に関する対称移動 (4) 原点に関する対称移動

## 問題の解答

### 問題5-1

1. 問題の内容

与えられた基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が対称移動によってどのように移されるかを調べることで、以下の対称移動変換の行列を求めます。

(1) $x$軸に関する対称移動

(2) $y$軸に関する対称移動

(3) 直線 $y=x$ に関する対称移動

(4) 原点に関する対称移動

2. 解き方の手順

各対称移動において、基本ベクトルがどのように移されるかを考えます。

移動後のベクトルを列ベクトルとする行列が、求める変換行列となります。

(1) $x$軸に関する対称移動：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

したがって、変換行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

(2) $y$軸に関する対称移動：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、変換行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

(3) 直線 $y=x$ に関する対称移動：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、変換行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

(4) 原点に関する対称移動：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

したがって、変換行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x$軸に関する対称移動： $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $y$軸に関する対称移動： $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 直線 $y=x$ に関する対称移動： $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(4) 原点に関する対称移動： $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

### 問題5-2

1. 問題の内容

与えられた直線を、指定された変換によって移された図形の方程式を求めます。

(1) 直線 $y=-x+1$ を $x$軸に関して対称移動。

(2) 直線 $y=3x-2$ を直線 $y=x$ に関して対称移動。

(3) 直線 $y=2x+1$ を原点に関して対称移動。

(4) 直線 $y=x-1$ を $30^\circ$ 回転。

(5) 直線 $y=3x+2$ を $y$軸に関して対称移動した後に $45^\circ$ 回転。

(6) 直線 $y=-2x+1$ を $60^\circ$ 回転移動した後に $x$軸について対称移動。

2. 解き方の手順

(1) $x$軸に関して対称移動: $y$ を $-y$ で置き換えます。

(2) 直線 $y=x$ に関して対称移動: $x$ と $y$ を入れ替えます。

(3) 原点に関して対称移動: $x$ を $-x$ で、 $y$ を $-y$ で置き換えます。

(4) $30^\circ$ 回転: 回転行列を用いて $(x, y)$ を $(x', y')$ に変換し、$x, y$ を $x', y'$ で表し、方程式に代入します。回転行列は $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ です。

(5) $y$軸に関して対称移動後、$45^\circ$ 回転: まず $y$軸に関して対称移動し、次に回転を行います。

(6) $60^\circ$ 回転後、$x$軸に関して対称移動: まず回転を行い、次に $x$軸に関して対称移動します。

(1) $x$軸に関して対称移動: $y = -x + 1$ より $-y = -x + 1$。したがって、$y = x - 1$。

(2) 直線 $y=x$ に関して対称移動: $y = 3x - 2$ より $x = 3y - 2$。したがって、$3y = x + 2$ より $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$。

(3) 原点に関して対称移動: $y = 2x + 1$ より $-y = 2(-x) + 1$。したがって、$y = 2x - 1$。

(4) $30^\circ$ 回転: $x' = x\cos 30^\circ - y\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y$、$y' = x\sin 30^\circ + y\cos 30^\circ = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y$。 これを $x$, $y$ について解くと、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y'$, $y = -\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y'$。 $y = x - 1$ に代入して、$-\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' - 1$。 整理すると、$(\sqrt{3}+1)x' - (\sqrt{3}-1)y' = 2$。 したがって、$y = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}x - \frac{2}{\sqrt{3}-1} = (2+\sqrt{3})x - (2+\sqrt{3})$。

(5) $y$軸に関して対称移動: $y = 3(-x) + 2 = -3x + 2$。 $45^\circ$ 回転: $x' = x\cos 45^\circ - y\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y$、$y' = x\sin 45^\circ + y\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y$。 これを $x$, $y$ について解くと、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y'$, $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y'$。 代入して、$-\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y' = -3(\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y') + 2$。 整理すると、$4x' - 2y' = 2\sqrt{2}$、 $y = 2x - \sqrt{2}$。

(6) $60^\circ$ 回転: $x' = x\cos 60^\circ - y\sin 60^\circ = \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y$、$y' = x\sin 60^\circ + y\cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y$。 これを $x$, $y$ について解くと、$x = \frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y'$, $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y'$。 代入して、$y = -2x + 1$ より$-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = -2(\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y') + 1$。 $(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)x' + (\sqrt{3}+\frac{1}{2})y' = 1$。 $x$軸に関して対称移動後、$y \rightarrow -y$ より、$(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)x' - (\sqrt{3}+\frac{1}{2})y' = 1$。 $(\sqrt{3}-2)x'-(2\sqrt{3}+1)y' = 2$。 $y = \frac{\sqrt{3}-2}{2\sqrt{3}+1}x - \frac{2}{2\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-2)(1-2\sqrt{3})}{-11}x - \frac{2(1-2\sqrt{3})}{-11} = \frac{4\sqrt{3}-7}{-11}x + \frac{4\sqrt{3}-2}{11} = \frac{7-4\sqrt{3}}{11}x + \frac{4\sqrt{3}-2}{11}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = x - 1$

(2) $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

(3) $y = 2x - 1$

(4) $y = (2 + \sqrt{3})x - (2 + \sqrt{3})$

(5) $y = 2x - \sqrt{2}$

(6) $y = \frac{7-4\sqrt{3}}{11}x + \frac{4\sqrt{3}-2}{11}$

### 問題5-3

1. 問題の内容

(1) 放物線 $C: y = x^2 - x$ を、原点の周りに $45^\circ$ 回転してできる図形 $D$ の方程式を求めます。

(2) 円 $C: x^2 + y^2 = 1$ を $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ で移してできる図形 $D$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 回転: $45^\circ$ 回転の回転行列を用いて $(x, y)$ を $(x', y')$ に変換し、$x, y$ を $x', y'$ で表し、方程式に代入します。

(2) 線形変換: $x' = x + 2y$, $y' = -x - 2y$ より、$x'+y' = 0$。すなわち、$y' = -x'$。円の方程式に代入して図形を求めますが、変換行列が特異行列なので、円は直線に写像されます。

(1) $x' = x\cos 45^\circ - y\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y$、$y' = x\sin 45^\circ + y\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y$。 これを $x$, $y$ について解くと、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y'$, $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y'$。 $y = x^2 - x$ に代入して、$-\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y' = (\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y')^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y')$。 $\sqrt{2}y = (x + y)^2 - \sqrt{2}(x+y)$、$y' - x' = (x'+y')^2 - \sqrt{2}(x'+y')$。よって、$x'^2 + y'^2 + 2x'y' + (\sqrt{2}-1)(x' + y') = 0$。

(2) $x' = x + 2y$、$y' = -x - 2y = -x'$。$x = x' - 2y = x' + 2x'$ より $x = 3x'$。$y = \frac{x'-x}{2} = \frac{x'-3x'}{2} = -x'$。

$x^2 + y^2 = 1$に代入すると$(3x')^2 + (-x')^2 = 10x'^2 = 1$。よって、$x'^2 = \frac{1}{10}$、$x' = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$。したがって、$x+2y = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + 2xy + (\sqrt{2}-1)(x + y) = 0$

(2) $x + 2y = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$