$(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i})^8 = a+bi$ を満たす実数 $a, b$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある3つの問題のうち、最初に問題1の(1)を解きます。

1. 問題の内容

$(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i})^8 = a+bi$ を満たす実数 $a, b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、複素数の分母を実数化します。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{3+1} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4}$

次に、これを極形式で表します。

$r = \sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = \sqrt{\frac{6}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{6}/4}{\sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-\sqrt{2}/4}{\sqrt{2}/2} = \frac{-\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\theta = -\frac{\pi}{6}$です。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$

これを8乗すると、ド・モアブルの定理より

$(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i})^8 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^8 (\cos(-\frac{8\pi}{6}) + i\sin(-\frac{8\pi}{6})) = (\frac{1}{2})^4 (\cos(-\frac{4\pi}{3}) + i\sin(-\frac{4\pi}{3})) = \frac{1}{16} (\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{16} (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{32} + \frac{\sqrt{3}}{32}i$

したがって、$a = -\frac{1}{32}, b = \frac{\sqrt{3}}{32}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{32}$

$b = \frac{\sqrt{3}}{32}$