与えられた式 $ax(x+1) + bx(x-1) + c(x+1)(x-2) = x^2 + 3$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $ax(x+1) + bx(x-1) + c(x+1)(x-2) = x^2 + 3$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。

$ax(x+1) + bx(x-1) + c(x+1)(x-2) = ax^2 + ax + bx^2 - bx + c(x^2 - x - 2) = ax^2 + ax + bx^2 - bx + cx^2 - cx - 2c = (a+b+c)x^2 + (a-b-c)x - 2c$

次に、右辺の $x^2 + 3$ と比較します。恒等式なので、$x$ の各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a+b+c = 1$

$a-b-c = 0$

$-2c = 3$

3つ目の式から、$c$ の値を求めます。

$c = -\frac{3}{2}$

この値を2つ目の式に代入します。

$a - b - (-\frac{3}{2}) = 0$

$a - b + \frac{3}{2} = 0$

$a - b = -\frac{3}{2}$

1つ目の式に $c$ の値を代入します。

$a + b - \frac{3}{2} = 1$

$a + b = \frac{5}{2}$

$a - b = -\frac{3}{2}$ と $a + b = \frac{5}{2}$ の連立方程式を解きます。

2つの式を足すと $2a = 1$ となるので、$a = \frac{1}{2}$ です。

$a = \frac{1}{2}$ を $a + b = \frac{5}{2}$ に代入すると、

$\frac{1}{2} + b = \frac{5}{2}$

$b = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = -\frac{3}{2}$