与えられた分数式 $\frac{x^2-x+6}{x^3-x^2-x+1}$ を、$\frac{a}{(x-1)^2} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1}$ の形の部分分数に分解し、$a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{x^2-x+6}{x^3-x^2-x+1}$ を、$\frac{a}{(x-1)^2} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1}$ の形の部分分数に分解し、$a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x-1)(x+1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)$

よって、

$\frac{x^2-x+6}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{a}{(x-1)^2} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1}$

両辺に $(x-1)^2(x+1)$ を掛けます。

$x^2 - x + 6 = a(x+1) + b(x-1)(x+1) + c(x-1)^2$

$x^2 - x + 6 = a(x+1) + b(x^2-1) + c(x^2-2x+1)$

$x^2 - x + 6 = ax + a + bx^2 - b + cx^2 - 2cx + c$

$x^2 - x + 6 = (b+c)x^2 + (a-2c)x + (a-b+c)$

両辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $b+c = 1$

$x$ の係数: $a-2c = -1$

定数項: $a-b+c = 6$

3つの式を連立させて解きます。

(1) $b+c = 1$

(2) $a-2c = -1$

(3) $a-b+c = 6$

(3)に(1)を代入すると、$a - (1-c) + c = 6$。よって、$a + 2c = 7$

(2)と$a + 2c = 7$を足すと、$2a = 6$ より、$a = 3$

(2)に$a=3$を代入すると、$3-2c=-1$ より、$2c = 4$ よって、$c = 2$

(1)に$c=2$を代入すると、$b+2 = 1$ より、$b = -1$

よって、$a = 3, b = -1, c = 2$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = -1$

$c = 2$