与えられた方程式 $\frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 2}$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $\frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 2}$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺の分母を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

したがって、与えられた方程式は次のようになります。

$\frac{x}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 2}$

右辺を通分します。

$\frac{x}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{a(x - 2) + b(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}$

両辺の分母が等しいので、分子も等しくなります。

$x = a(x - 2) + b(x - 1)$

$x = ax - 2a + bx - b$

$x = (a + b)x - (2a + b)$

この等式が全ての $x$ について成り立つためには、両辺の $x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$a + b = 1$

$2a + b = 0$

2番目の式から最初の式を引くと、

$(2a + b) - (a + b) = 0 - 1$

$a = -1$

$a + b = 1$ に $a = -1$ を代入すると、

$-1 + b = 1$

$b = 2$

したがって、$a = -1$ かつ $b = 2$ です。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 2$