与えられた式 $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1}$ において、未知数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1}$ において、未知数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、左辺の分母 $x^2 - 1$ を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

したがって、与えられた式は

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1}$

となります。

次に、右辺を通分します。

$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} = \frac{a(x+1) + b(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{ax+a+bx-b}{(x-1)(x+1)} = \frac{(a+b)x + (a-b)}{(x-1)(x+1)}$

したがって、

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(a+b)x + (a-b)}{(x-1)(x+1)}$

分母が等しいので、分子も等しくなります。

$1 = (a+b)x + (a-b)$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$a + b = 0$

$a - b = 1$

これらの式を解きます。最初の式から $b = -a$ が得られます。これを2番目の式に代入すると、

$a - (-a) = 1$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

$b = -a = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = -\frac{1}{2}$