与えられた式 $\frac{3x-9}{(x^2-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-2}$ において、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{3x-9}{(x^2-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-2}$ において、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、左辺の分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ なので、

$\frac{3x-9}{(x^2-1)(x-2)} = \frac{3x-9}{(x-1)(x+1)(x-2)}$

となります。

与えられた式の両辺に $(x-1)(x+1)(x-2)$ をかけます。

$3x - 9 = a(x+1)(x-2) + b(x-1)(x-2) + c(x-1)(x+1)$

この式が $x$ についての恒等式であることから、$x$ に適当な値を代入して $a$, $b$, $c$ を求めます。

$x=1$ を代入すると、

$3(1) - 9 = a(1+1)(1-2) + b(0) + c(0)$

$-6 = a(2)(-1)$

$-6 = -2a$

$a = 3$

$x=-1$ を代入すると、

$3(-1) - 9 = a(0) + b(-1-1)(-1-2) + c(0)$

$-12 = b(-2)(-3)$

$-12 = 6b$

$b = -2$

$x=2$ を代入すると、

$3(2) - 9 = a(0) + b(0) + c(2-1)(2+1)$

$-3 = c(1)(3)$

$-3 = 3c$

$c = -1$

よって、$a=3$, $b=-2$, $c=-1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = -2$, $c = -1$