与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $(2a-b)(2a-b+3)+2$ (2) $(x^2+2x+3)(x^2+2x-4)+6$

代数学因数分解置換多項式
2025/6/3

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。
(1) (2ab)(2ab+3)+2(2a-b)(2a-b+3)+2
(2) (x2+2x+3)(x2+2x4)+6(x^2+2x+3)(x^2+2x-4)+6

2. 解き方の手順

(1)
2ab=A2a-b = A と置換すると、
(2ab)(2ab+3)+2=A(A+3)+2=A2+3A+2=(A+1)(A+2)(2a-b)(2a-b+3)+2 = A(A+3)+2 = A^2+3A+2 = (A+1)(A+2)
ここで、AA2ab2a-b に戻すと、
(A+1)(A+2)=(2ab+1)(2ab+2)(A+1)(A+2) = (2a-b+1)(2a-b+2)
(2)
x2+2x=Ax^2+2x = A と置換すると、
(x2+2x+3)(x2+2x4)+6=(A+3)(A4)+6=A2A12+6=A2A6=(A3)(A+2)(x^2+2x+3)(x^2+2x-4)+6 = (A+3)(A-4)+6 = A^2-A-12+6 = A^2-A-6 = (A-3)(A+2)
ここで、AAx2+2xx^2+2x に戻すと、
(A3)(A+2)=(x2+2x3)(x2+2x+2)(A-3)(A+2) = (x^2+2x-3)(x^2+2x+2)
x2+2x3=(x+3)(x1)x^2+2x-3 = (x+3)(x-1) であり、x2+2x+2x^2+2x+2 はこれ以上因数分解できないため、
(x2+2x3)(x2+2x+2)=(x+3)(x1)(x2+2x+2)(x^2+2x-3)(x^2+2x+2) = (x+3)(x-1)(x^2+2x+2)

3. 最終的な答え

(1) (2ab+1)(2ab+2)(2a-b+1)(2a-b+2)
(2) (x+3)(x1)(x2+2x+2)(x+3)(x-1)(x^2+2x+2)

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