2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とします。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めます。 (2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とします。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めます。

(2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解の公式を用いて解きます。解の公式は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるものです。今回の問題では、$a=1$, $b=-4$, $c=-2$ なので、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、$a = 2 - \sqrt{6}$、$b = 2 + \sqrt{6}$ となります。

(2)

$a^2 + b^2$ を求めます。

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ を求めます。

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

したがって、$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$