5つの数学の問題があります。 (1) $\sqrt{3^5} + \sqrt{(-2)^2 \cdot 3}$ を計算し、簡単にします。 (2) $(2x+1)(2x-5) - (x-2)^2$ を展開し、整理します。 (3) $4a^2 + 4ab - 3b^2$ を因数分解します。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} 11x - 20 < 3(x+4) \\ \frac{x+2}{2} - \frac{2x-1}{3} \le 1 \end{cases}$ を解きます。 (5) 方程式 $|7x-4| = 3$ を解きます。

1. 問題の内容

5つの数学の問題があります。

(1) $\sqrt{3^5} + \sqrt{(-2)^2 \cdot 3}$ を計算し、簡単にします。

(2) $(2x+1)(2x-5) - (x-2)^2$ を展開し、整理します。

(3) $4a^2 + 4ab - 3b^2$ を因数分解します。

(4) 連立不等式 $\begin{cases} 11x - 20 < 3(x+4) \\ \frac{x+2}{2} - \frac{2x-1}{3} \le 1 \end{cases}$ を解きます。

(5) 方程式 $|7x-4| = 3$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{3^5} = \sqrt{3^4 \cdot 3} = 3^2 \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

$\sqrt{(-2)^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{3^5} + \sqrt{(-2)^2 \cdot 3} = 9\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (9+2)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$

(2)

$(2x+1)(2x-5) - (x-2)^2 = (4x^2 - 10x + 2x - 5) - (x^2 - 4x + 4) = 4x^2 - 8x - 5 - x^2 + 4x - 4 = (4x^2 - x^2) + (-8x + 4x) + (-5 - 4) = 3x^2 - 4x - 9$

(3)

$4a^2 + 4ab - 3b^2 = (2a + 3b)(2a - b)$

(4)

$11x - 20 < 3(x+4) \Rightarrow 11x - 20 < 3x + 12 \Rightarrow 8x < 32 \Rightarrow x < 4$

$\frac{x+2}{2} - \frac{2x-1}{3} \le 1 \Rightarrow 3(x+2) - 2(2x-1) \le 6 \Rightarrow 3x + 6 - 4x + 2 \le 6 \Rightarrow -x + 8 \le 6 \Rightarrow -x \le -2 \Rightarrow x \ge 2$

したがって、$2 \le x < 4$

(5)

$|7x-4| = 3 \Rightarrow 7x-4 = 3 \text{ or } 7x-4 = -3$

$7x - 4 = 3 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$

$7x - 4 = -3 \Rightarrow 7x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$

したがって、$x = 1, \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $11\sqrt{3}$

(2) $3x^2 - 4x - 9$

(3) $(2a + 3b)(2a - b)$

(4) $2 \le x < 4$

(5) $x = 1, \frac{1}{7}$