画像に写っている二次関数の式を、平方完成した形に変形する問題です。具体的には、以下の7つの関数について平方完成を行います。 (3) $y = 2x^2 - 4x + 8$ (4) $y = -x^2 - 4x + 3$ (5) $y = -2x^2 + 12x - 7$ (6) $y = 3x^2 - 6x + 1$ (7) $y = -x^2 - 2x + 3$ (8) $y = -3x^2 + 6x - 4$ (9) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + 3$ (10) $y = -\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 1$

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像に写っている二次関数の式を、平方完成した形に変形する問題です。具体的には、以下の7つの関数について平方完成を行います。

(3) $y = 2x^2 - 4x + 8$

(4) $y = -x^2 - 4x + 3$

(5) $y = -2x^2 + 12x - 7$

(6) $y = 3x^2 - 6x + 1$

(7) $y = -x^2 - 2x + 3$

(8) $y = -3x^2 + 6x - 4$

(9) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + 3$

(10) $y = -\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 1$

2. 解き方の手順

平方完成の手順は以下の通りです。

1. $x^2$の係数で$x^2$と$x$の項をくくり出す。

2. 括弧の中を$(x + a)^2 + b$の形に変形する。

3. 定数項を調整する。

各関数について、具体的な手順は以下のようになります。

(3) $y = 2x^2 - 4x + 8$

$y = 2(x^2 - 2x) + 8$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 8$

$y = 2((x-1)^2 - 1) + 8$

$y = 2(x-1)^2 - 2 + 8$

$y = 2(x-1)^2 + 6$

(4) $y = -x^2 - 4x + 3$

$y = -(x^2 + 4x) + 3$

$y = -(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3$

$y = -((x+2)^2 - 4) + 3$

$y = -(x+2)^2 + 4 + 3$

$y = -(x+2)^2 + 7$

(5) $y = -2x^2 + 12x - 7$

$y = -2(x^2 - 6x) - 7$

$y = -2(x^2 - 6x + 9 - 9) - 7$

$y = -2((x-3)^2 - 9) - 7$

$y = -2(x-3)^2 + 18 - 7$

$y = -2(x-3)^2 + 11$

(6) $y = 3x^2 - 6x + 1$

$y = 3(x^2 - 2x) + 1$

$y = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 3((x-1)^2 - 1) + 1$

$y = 3(x-1)^2 - 3 + 1$

$y = 3(x-1)^2 - 2$

(7) $y = -x^2 - 2x + 3$

$y = -(x^2 + 2x) + 3$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$

$y = -((x+1)^2 - 1) + 3$

$y = -(x+1)^2 + 1 + 3$

$y = -(x+1)^2 + 4$

(8) $y = -3x^2 + 6x - 4$

$y = -3(x^2 - 2x) - 4$

$y = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 4$

$y = -3((x-1)^2 - 1) - 4$

$y = -3(x-1)^2 + 3 - 4$

$y = -3(x-1)^2 - 1$

(9) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$

$y = \frac{1}{2}((x+1)^2 - 1) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} + 3$

$y = \frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{5}{2}$

(10) $y = -\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 + 4x) - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 + 4x + 4 - 4) - 1$

$y = -\frac{1}{3}((x+2)^2 - 4) - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x+2)^2 + \frac{4}{3} - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x+2)^2 + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(3) $y = 2(x-1)^2 + 6$

(4) $y = -(x+2)^2 + 7$

(5) $y = -2(x-3)^2 + 11$

(6) $y = 3(x-1)^2 - 2$

(7) $y = -(x+1)^2 + 4$

(8) $y = -3(x-1)^2 - 1$

(9) $y = \frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{5}{2}$

(10) $y = -\frac{1}{3}(x+2)^2 + \frac{1}{3}$