$a = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$のとき、$a+\frac{1}{a}$, $a^2+\frac{1}{a^2}$, $a^5+\frac{1}{a^5}$の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$のとき、$a+\frac{1}{a}$, $a^2+\frac{1}{a^2}$, $a^5+\frac{1}{a^5}$の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$の分母を有理化する。

$a = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

次に、$\frac{1}{a}$を求める。

$\frac{1}{a} = \frac{2}{3+\sqrt{5}} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$a+\frac{1}{a}$を計算する。

$a+\frac{1}{a} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$a^2+\frac{1}{a^2}$を計算する。

$(a+\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$より、

$a^2+\frac{1}{a^2} = (a+\frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9-2 = 7$

$a^5+\frac{1}{a^5}$を計算する。

$(a^2+\frac{1}{a^2})(a^3+\frac{1}{a^3}) = a^5 + a + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^5}$より、

$a^5+\frac{1}{a^5} = (a^2+\frac{1}{a^2})(a^3+\frac{1}{a^3}) - (a+\frac{1}{a})$

$a^3+\frac{1}{a^3} = (a+\frac{1}{a})^3 - 3(a+\frac{1}{a}) = 3^3 - 3(3) = 27-9 = 18$

$a^5+\frac{1}{a^5} = (7)(18) - (3) = 126 - 3 = 123$

3. 最終的な答え

$a+\frac{1}{a} = 3$

$a^2+\frac{1}{a^2} = 7$

$a^5+\frac{1}{a^5} = 123$