与えられた4次式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を見やすくするために、積の順序を工夫します。

$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

$A = x^2 - 8x$ と置くと、式は

$(A + 7)(A + 15) + 15$

となります。

この式を展開すると、

$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

となります。

次に、$A^2 + 22A + 120$ を因数分解します。

$A^2 + 22A + 120 = (A + 10)(A + 12)$

ここで、$A = x^2 - 8x$ を代入します。

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

$x^2 - 8x + 12$ は $(x - 2)(x - 6)$ と因数分解できます。

したがって、与えられた式は $(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$