多項式 $ax^3 + bx^2 - ax + b$ を $x^2 - x - 1$ で割った余りが $x$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $ax^3 + bx^2 - ax + b$ を $x^2 - x - 1$ で割った余りが $x$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項式 $ax^3 + bx^2 - ax + b$ を $x^2 - x - 1$ で割ったときの商を $qx + r$ とすると（$q, r$は定数）、

$ax^3 + bx^2 - ax + b = (x^2 - x - 1)(ax + c) + x$

と表せる。ここで、$ax + c$は商を表し、$x$は余りを表している。

右辺を展開すると、

$ax^3 + bx^2 - ax + b = ax^3 + (c - a)x^2 - (a + c)x - c + x = ax^3 + (c - a)x^2 + (-a - c + 1)x - c$

両辺の係数を比較して、

$b = c - a$ ... (1)

$-a = -a - c + 1$ ... (2)

$b = -c$ ... (3)

(2)より、$0 = -c + 1$ よって、$c = 1$

(3)より、$b = -1$

(1)より、$-1 = 1 - a$ よって、$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$