与えられた3つの行列の固有値と固有ベクトルをそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の固有値と固有ベクトルをそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の場合：

固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値$\lambda$を求める。

次に、各固有値$\lambda$について、$(A - \lambda I) \vec{v} = \vec{0}$ を満たす固有ベクトル $\vec{v}$ を求める。

固有方程式は：

$$

\begin{vmatrix}

1-\lambda & 1 & 3 \\

1 & 5-\lambda & 1 \\

3 & 1 & 1-\lambda

\end{vmatrix} = 0

$$

これを展開すると、

$(1-\lambda)((5-\lambda)(1-\lambda) - 1) - 1((1-\lambda) - 3) + 3(1 - 3(5-\lambda)) = 0$

$(1-\lambda)(5 - 6\lambda + \lambda^2 - 1) - (1-\lambda - 3) + 3(1 - 15 + 3\lambda) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 4) + (\lambda + 2) + 3(-14 + 3\lambda) = 0$

$\lambda^2 - 6\lambda + 4 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda + 2 - 42 + 9\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 7\lambda^2 - 40 = 0$

$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 40 = 0$

$(\lambda + 2)(\lambda^2 - 9\lambda + 20) = 0$

$(\lambda + 2)(\lambda-4)(\lambda-5) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = 5$

* $\lambda_1 = -2$のとき

$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 3 \\

1 & 7 & 1 \\

3 & 1 & 3

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

0 \\

0 \\

0

\end{pmatrix}

$

$3x + y + 3z = 0$

$x + 7y + z = 0$

$y = -3x - 3z$を$x + 7y + z = 0$に代入

$x + 7(-3x - 3z) + z = 0$

$x - 21x - 21z + z = 0$

$-20x - 20z = 0$

$x = -z$

$y = -3(-z) - 3z = 0$

よって固有ベクトルの一つは$\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

* $\lambda_2 = 4$のとき

$

\begin{pmatrix}

-3 & 1 & 3 \\

1 & 1 & 1 \\

3 & 1 & -3

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

0 \\

0 \\

0

\end{pmatrix}

$

$-3x + y + 3z = 0$

$x + y + z = 0$

$3x + y - 3z = 0$

$x + y + z = 0$

$y = -x - z$を$-3x + y + 3z = 0$に代入

$-3x - x - z + 3z = 0$

$-4x + 2z = 0$

$z = 2x$

$y = -x - 2x = -3x$

よって固有ベクトルの一つは$\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $\lambda_3 = 5$のとき

$

\begin{pmatrix}

-4 & 1 & 3 \\

1 & 0 & 1 \\

3 & 1 & -4

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

0 \\

0 \\

0

\end{pmatrix}

$

$x + z = 0$, $x = -z$

$-4x + y + 3z = 0$

$-4x + y - 3x = 0$

$y = 7x$

よって固有ベクトルの一つは$\begin{pmatrix} -1 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ の場合：

固有方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解いて固有値$\lambda$を求める。

次に、各固有値$\lambda$について、$(B - \lambda I) \vec{v} = \vec{0}$ を満たす固有ベクトル $\vec{v}$ を求める。

固有方程式は：

$$

\begin{vmatrix}

-2-\lambda & 2 & -3 \\

2 & 1-\lambda & -6 \\

-1 & -2 & -\lambda

\end{vmatrix} = 0

$$

これを展開すると、

$(-2-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda) - 12) - 2(2(-\lambda) - 6) - 3(-4 + (1-\lambda)) = 0$

$(-2-\lambda)(-\lambda + \lambda^2 - 12) - 2(-2\lambda - 6) - 3(-3 - \lambda) = 0$

$2\lambda - 2\lambda^2 + 24 + \lambda^2 - \lambda^3 + 12\lambda + 4\lambda + 12 + 9 + 3\lambda = 0$

$-\lambda^3 - \lambda^2 + 21\lambda + 45 = 0$

$\lambda^3 + \lambda^2 - 21\lambda - 45 = 0$

$(\lambda - 5)(\lambda^2 + 6\lambda + 9) = 0$

$(\lambda - 5)(\lambda + 3)^2 = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = -3$ (重解)

* $\lambda_1 = 5$のとき

$

\begin{pmatrix}

-7 & 2 & -3 \\

2 & -4 & -6 \\

-1 & -2 & -5

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

0 \\

0 \\

0

\end{pmatrix}

$

$-7x + 2y - 3z = 0$

$2x - 4y - 6z = 0$

$-x - 2y - 5z = 0$

$2x - 4y - 6z = 0$ より $x - 2y - 3z = 0$, $x = 2y + 3z$

$-x - 2y - 5z = 0$ に代入

$-(2y+3z) - 2y - 5z = 0$

$-4y - 8z = 0$

$y = -2z$

$x = 2(-2z) + 3z = -4z + 3z = -z$

よって固有ベクトルの一つは$\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

* $\lambda_2 = -3$のとき

$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -3 \\

2 & 4 & -6 \\

-1 & -2 & 3

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

0 \\

0 \\

0

\end{pmatrix}

$

$x + 2y - 3z = 0$

$2x + 4y - 6z = 0$

$-x - 2y + 3z = 0$

$x + 2y = 3z$なので、$z$をパラメータとすると、

$x = 3z - 2y$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 3z - 2y \\ y \\ z \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有ベクトルは$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $C = \begin{pmatrix} 4 & 2 + \sqrt{3}i \\ 2 - \sqrt{3}i & -2 \end{pmatrix}$ の場合：

固有方程式 $|C - \lambda I| = 0$ を解いて固有値$\lambda$を求める。

次に、各固有値$\lambda$について、$(C - \lambda I) \vec{v} = \vec{0}$ を満たす固有ベクトル $\vec{v}$ を求める。

固有方程式は：

$$

\begin{vmatrix}

4-\lambda & 2 + \sqrt{3}i \\

2 - \sqrt{3}i & -2-\lambda

\end{vmatrix} = 0

$$

$(4-\lambda)(-2-\lambda) - (2 + \sqrt{3}i)(2 - \sqrt{3}i) = 0$

$-8 - 4\lambda + 2\lambda + \lambda^2 - (4 + 3) = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda - 8 - 7 = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda - 15 = 0$

$(\lambda - 5)(\lambda + 3) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = -3$

* $\lambda_1 = 5$のとき

$

\begin{pmatrix}

-1 & 2 + \sqrt{3}i \\

2 - \sqrt{3}i & -7

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

0 \\

0

\end{pmatrix}

$

$-x + (2 + \sqrt{3}i)y = 0$

$x = (2 + \sqrt{3}i)y$

よって固有ベクトルの一つは$\begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3}i \\ 1 \end{pmatrix}$

* $\lambda_2 = -3$のとき

$

\begin{pmatrix}

7 & 2 + \sqrt{3}i \\

2 - \sqrt{3}i & 1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

0 \\

0

\end{pmatrix}

$

$(2 - \sqrt{3}i)x + y = 0$

$y = -(2 - \sqrt{3}i)x$

よって固有ベクトルの一つは$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 + \sqrt{3}i \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

固有値: $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = 5$

固有ベクトル: $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2)

固有値: $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = -3$ (重解)

固有ベクトル: $\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3)

固有値: $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = -3$

固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3}i \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 + \sqrt{3}i \end{pmatrix}$