$A$ が $m$ 次正則行列、 $D$ が $n$ 次正則行列であるとき、任意の $m \times n$ 行列 $B$ 、 $n \times m$ 行列 $C$ に対して、次の行列 $X, Y, Z$ が正則であることを示し、 $X^{-1}, Y^{-1}, Z^{-1}$ を求める問題です。 $$ X = \begin{bmatrix} A & B \\ O & D \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} A & O \\ C & D \end{bmatrix}, \quad Z = \begin{bmatrix} B & A \\ D & O \end{bmatrix} $$

1. 問題の内容

$A$ が $m$ 次正則行列、 $D$ が $n$ 次正則行列であるとき、任意の $m \times n$ 行列 $B$ 、 $n \times m$ 行列 $C$ に対して、次の行列 $X, Y, Z$ が正則であることを示し、 $X^{-1}, Y^{-1}, Z^{-1}$ を求める問題です。

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X = \begin{bmatrix} A & B \\ O & D \end{bmatrix}, \quad

Y = \begin{bmatrix} A & O \\ C & D \end{bmatrix}, \quad

Z = \begin{bmatrix} B & A \\ D & O \end{bmatrix}

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2. 解き方の手順

(1) $X$ が正則であることと $X^{-1}$ の計算

$X$ の行列式は $\det(X) = \det(A) \det(D)$ であり、$A$ と $D$ が正則なので $\det(A) \neq 0$ かつ $\det(D) \neq 0$ 、したがって $\det(X) \neq 0$ となり、$X$ は正則です。

$X^{-1}$ を

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X^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & C \\ O & D^{-1} \end{bmatrix}

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とおいて、$XX^{-1} = I$ となるように $C$ を決定します。

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\begin{bmatrix} A & B \\ O & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} & C \\ O & D^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AA^{-1} & AC + BD^{-1} \\ O & DD^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & AC + BD^{-1} \\ O & I \end{bmatrix}

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$AC + BD^{-1} = O$ より $AC = -BD^{-1}$ となるので $C = -A^{-1}BD^{-1}$ です。

したがって

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X^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ O & D^{-1} \end{bmatrix}

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(2) $Y$ が正則であることと $Y^{-1}$ の計算

$Y$ の行列式は $\det(Y) = \det(A) \det(D)$ であり、$A$ と $D$ が正則なので $\det(A) \neq 0$ かつ $\det(D) \neq 0$ 、したがって $\det(Y) \neq 0$ となり、$Y$ は正則です。

$Y^{-1}$ を

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Y^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ E & D^{-1} \end{bmatrix}

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とおいて、$YY^{-1} = I$ となるように $E$ を決定します。

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\begin{bmatrix} A & O \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ E & D^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AA^{-1} & O \\ CA^{-1} + DE & DD^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ CA^{-1} + DE & I \end{bmatrix}

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$CA^{-1} + DE = O$ より $DE = -CA^{-1}$ となるので $E = -D^{-1}CA^{-1}$ です。

したがって

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Y^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{bmatrix}

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(3) $Z$ が正則であることと $Z^{-1}$ の計算

$Z = \begin{bmatrix} B & A \\ D & O \end{bmatrix}$ なので、まず $Z$ が正則であるためには $B$ が正方行列でなければなりません。しかし、$B$ は $m \times n$ 行列なので、$m=n$ である必要があります。$Z$ の行列式は $\det(Z) = (-1)^n \det(A) \det(D)$ であり、$A$ と $D$ が正則なので $\det(A) \neq 0$ かつ $\det(D) \neq 0$ 、したがって $\det(Z) \neq 0$ となり、$Z$ は正則です。

$Z^{-1}$ を

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Z^{-1} = \begin{bmatrix} O & D^{-1} \\ A^{-1} & F \end{bmatrix}

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とおいて、$ZZ^{-1} = I$ となるように $F$ を決定します。

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\begin{bmatrix} B & A \\ D & O \end{bmatrix} \begin{bmatrix} O & D^{-1} \\ A^{-1} & F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AA^{-1} & BD^{-1}+AF \\ D & OA^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & BD^{-1}+AF \\ O & O \end{bmatrix}

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$BZ^{-1} + AF = 0$より、$AF = -BD^{-1}$となるので、$F = -A^{-1}BD^{-1}$です。

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\begin{bmatrix} O & D^{-1} \\ A^{-1} & F \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & A \\ D & O \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} D D & O \\ B^{-1}+FA & A^{-1}A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ A^{-1}B D^{-1}+FA & I \end{bmatrix}

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$A^{-1}BD^{-1}+FA = 0$より、$FA=-A^{-1}BD^{-1}$となるので、$F = -A^{-1}BD^{-1}A^{-1}$

したがって

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Z^{-1} = \begin{bmatrix} O & D^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \end{bmatrix}

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3. 最終的な答え

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X^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ O & D^{-1} \end{bmatrix}

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Y^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{bmatrix}

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Z^{-1} = \begin{bmatrix} O & D^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \end{bmatrix}

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