$z = x^2 - 2xy - 24y^2$ であり、$x$, $y$, $z$ が素数であるとき、$z$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$z = x^2 - 2xy - 24y^2$ であり、$x$, $y$, $z$ が素数であるとき、$z$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解します。

$z = x^2 - 2xy - 24y^2 = (x - 6y)(x + 4y)$

$z$ が素数であることから、$x - 6y = 1$ または $x + 4y = 1$ のいずれかが成り立ちます。

$x$ と $y$ は素数なので、$x+4y=1$ が成り立つことはありません。

したがって、$x - 6y = 1$ です。

この式は、$x = 6y + 1$ と変形できます。

$x$ と $y$ は素数であるため、$y$ に小さい素数から順に代入して、$x$ も素数となるような組み合わせを探します。

$y = 2$ のとき、$x = 6(2) + 1 = 13$ となり、$x$ も素数です。

このとき、$z = (x - 6y)(x + 4y) = (1)(13 + 4(2)) = 13 + 8 = 21 = 3 \times 7$ となり、$z$ は素数ではありません。

$y = 3$ のとき、$x = 6(3) + 1 = 19$ となり、$x$ も素数です。

このとき、$z = (x - 6y)(x + 4y) = (1)(19 + 4(3)) = 19 + 12 = 31$ となり、$z$ は素数です。

$y = 5$ のとき、$x = 6(5) + 1 = 31$ となり、$x$ も素数です。

このとき、$z = (x - 6y)(x + 4y) = (1)(31 + 4(5)) = 31 + 20 = 51 = 3 \times 17$ となり、$z$ は素数ではありません。

$z = 31$ が素数であり、$x=19$, $y=3$ は素数であるため、$z$ の最小値は $31$ であると考えられます。

3. 最終的な答え

31