行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の計算をせよ。 (1) $A + B$ (2) $A - B$ (3) $2A + 3B$ (4) $-A + 2B$ (5) $AB$ (6) $BA$ (7) $A^2$ (8) $ABA$ (9) $(AB)^2$ (10) $A^2 - B^2$ (11) $(A - B)(A + B)$ (12) $(A + B)(A - B)$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の計算をせよ。

(1) $A + B$

(2) $A - B$

(3) $2A + 3B$

(4) $-A + 2B$

(5) $AB$

(6) $BA$

(7) $A^2$

(8) $ABA$

(9) $(AB)^2$

(10) $A^2 - B^2$

(11) $(A - B)(A + B)$

(12) $(A + B)(A - B)$

2. 解き方の手順

(1) $A + B$

行列の各成分を足し合わせる。

$A + B = \begin{pmatrix} 2 + (-1) & 1 + 2 \\ 3 + (-2) & -1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $A - B$

行列の各成分を引き算する。

$A - B = \begin{pmatrix} 2 - (-1) & 1 - 2 \\ 3 - (-2) & -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $2A + 3B$

行列Aを2倍、行列Bを3倍し、その後各成分を足し合わせる。

$2A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$

$3B = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$

$2A + 3B = \begin{pmatrix} 4 + (-3) & 2 + 6 \\ 6 + (-6) & -2 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $-A + 2B$

行列Aを-1倍、行列Bを2倍し、その後各成分を足し合わせる。

$-A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

$2B = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}$

$-A + 2B = \begin{pmatrix} -2 + (-2) & -1 + 4 \\ -3 + (-4) & 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $AB$

行列の積を計算する。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*(-1) + 1*(-2) & 2*2 + 1*3 \\ 3*(-1) + (-1)*(-2) & 3*2 + (-1)*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $BA$

行列の積を計算する。

$BA = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1*2 + 2*3 & -1*1 + 2*(-1) \\ -2*2 + 3*3 & -2*1 + 3*(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}$

(7) $A^2$

$A^2 = A * A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*2 + 1*3 & 2*1 + 1*(-1) \\ 3*2 + (-1)*3 & 3*1 + (-1)*(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(8) $ABA$

まず$AB$を計算する。$AB = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

次に$ABA = (AB)A = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4*2 + 7*3 & -4*1 + 7*(-1) \\ -1*2 + 3*3 & -1*1 + 3*(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -11 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$

(9) $(AB)^2$

まず$AB$を計算する。$AB = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

次に$(AB)^2 = (AB)(AB) = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4*(-4) + 7*(-1) & -4*7 + 7*3 \\ -1*(-4) + 3*(-1) & -1*7 + 3*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $A^2 - B^2$

$A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$B^2 = B * B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1*(-1) + 2*(-2) & -1*2 + 2*3 \\ -2*(-1) + 3*(-2) & -2*2 + 3*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$

$A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - (-3) & 1 - 4 \\ 3 - (-4) & 4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

(11) $(A - B)(A + B)$

$A - B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

$A + B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$(A - B)(A + B) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3*1 + (-1)*1 & 3*3 + (-1)*2 \\ 5*1 + (-4)*1 & 5*3 + (-4)*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

(12) $(A + B)(A - B)$

$A + B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$A - B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

$(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*3 + 3*5 & 1*(-1) + 3*(-4) \\ 1*3 + 2*5 & 1*(-1) + 2*(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -13 \\ 13 & -9 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $A - B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $2A + 3B = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $-A + 2B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $AB = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $BA = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}$

(7) $A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(8) $ABA = \begin{pmatrix} 13 & -11 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$

(9) $(AB)^2 = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

(11) $(A - B)(A + B) = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

(12) $(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 18 & -13 \\ 13 & -9 \end{pmatrix}$