行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列演算を行え。 (1) $A + B$ (2) $A - B$ (3) $2A + 3B$ (4) $-A + 2B$ (5) $AB$ (6) $BA$ (7) $A^2$ (8) $ABA$ (9) $(AB)^2$ (10) $A^2 - B^2$ (11) $(A - B)(A + B)$ (12) $(A + B)(A - B)$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列演算を行え。

(1) $A + B$

(2) $A - B$

(3) $2A + 3B$

(4) $-A + 2B$

(5) $AB$

(6) $BA$

(7) $A^2$

(8) $ABA$

(9) $(AB)^2$

(10) $A^2 - B^2$

(11) $(A - B)(A + B)$

(12) $(A + B)(A - B)$

2. 解き方の手順

各行列演算を定義に従って計算します。

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1+2 \\ 3-2 & -1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $A - B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-1) & 1-2 \\ 3-(-2) & -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $2A + 3B = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 & 2+6 \\ 6-6 & -2+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $-A + 2B = -\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-2 & -1+4 \\ -3-4 & 1+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-1) + 1(-2) & 2(2) + 1(3) \\ 3(-1) + (-1)(-2) & 3(2) + (-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-2 & 4+3 \\ -3+2 & 6-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $BA = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1(2) + 2(3) & -1(1) + 2(-1) \\ -2(2) + 3(3) & -2(1) + 3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+6 & -1-2 \\ -4+9 & -2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}$

(7) $A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2) + 1(3) & 2(1) + 1(-1) \\ 3(2) + (-1)(3) & 3(1) + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+3 & 2-1 \\ 6-3 & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(8) $ABA = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4(2)+7(3) & -4(1)+7(-1) \\ -1(2)+3(3) & -1(1)+3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8+21 & -4-7 \\ -2+9 & -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -11 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$

(9) $(AB)^2 = AB \cdot AB = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4(-4) + 7(-1) & -4(7) + 7(3) \\ -1(-4) + 3(-1) & -1(7) + 3(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16-7 & -28+21 \\ 4-3 & -7+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} (-1)(-1) + 2(-2) & (-1)(2) + 2(3) \\ (-2)(-1) + 3(-2) & (-2)(2) + 3(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1-4 & -2+6 \\ 2-6 & -4+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-(-3) & 1-4 \\ 3-(-4) & 4-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

(11) $(A - B)(A + B) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) + (-1)(1) & 3(3) + (-1)(2) \\ 5(1) + (-4)(1) & 5(3) + (-4)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 & 9-2 \\ 5-4 & 15-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

(12) $(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(3) + 3(5) & 1(-1) + 3(-4) \\ 1(3) + 2(5) & 1(-1) + 2(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+15 & -1-12 \\ 3+10 & -1-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -13 \\ 13 & -9 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(8) $\begin{pmatrix} 13 & -11 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$

(9) $\begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $\begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

(11) $\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

(12) $\begin{pmatrix} 18 & -13 \\ 13 & -9 \end{pmatrix}$