(1) 方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解く問題です。 (2) 不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解く問題です。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解く問題です。

(2) 不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $|2x| + |x-2| = 6$

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

* $x < 0$ のとき： $|2x| = -2x$, $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

したがって、$-2x - x + 2 = 6$, $-3x = 4$, $x = -\frac{4}{3}$

これは $x < 0$ を満たすので、解の一つです。

* $0 \le x < 2$ のとき： $|2x| = 2x$, $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

したがって、$2x - x + 2 = 6$, $x = 4$

これは $0 \le x < 2$ を満たさないので、解ではありません。

* $x \ge 2$ のとき： $|2x| = 2x$, $|x-2| = x-2$

したがって、$2x + x - 2 = 6$, $3x = 8$, $x = \frac{8}{3}$

これは $x \ge 2$ を満たすので、解の一つです。

(2) $|2x| + |x-2| < 6$

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

* $x < 0$ のとき： $|2x| = -2x$, $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

したがって、$-2x - x + 2 < 6$, $-3x < 4$, $x > -\frac{4}{3}$

$x < 0$ と $x > -\frac{4}{3}$ の共通範囲は $-\frac{4}{3} < x < 0$ です。

* $0 \le x < 2$ のとき： $|2x| = 2x$, $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

したがって、$2x - x + 2 < 6$, $x < 4$

$0 \le x < 2$ と $x < 4$ の共通範囲は $0 \le x < 2$ です。

* $x \ge 2$ のとき： $|2x| = 2x$, $|x-2| = x-2$

したがって、$2x + x - 2 < 6$, $3x < 8$, $x < \frac{8}{3}$

$x \ge 2$ と $x < \frac{8}{3}$ の共通範囲は $2 \le x < \frac{8}{3}$ です。

したがって、 $-\frac{4}{3} < x < 0$, $0 \le x < 2$, $2 \le x < \frac{8}{3}$ を合わせると、$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$

(2) $-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$