$a>0$, $b>0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 $ab + \frac{1}{ab} \ge 2$

1. 問題の内容

$a>0$, $b>0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

$ab + \frac{1}{ab} \ge 2$

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用します。

$a > 0$, $b > 0$ より、$ab > 0$ です。

相加平均・相乗平均の関係から、

$x>0$に対して、$x + \frac{1}{x} \ge 2$が成り立ちます。

$x = ab$とおくと、$ab + \frac{1}{ab} \ge 2$

より、$ab + \frac{1}{ab} \ge 2$が成り立ちます。

等号成立は、$ab = \frac{1}{ab}$ のときなので、$ab = 1$ のときです。

3. 最終的な答え

$a>0$, $b>0$のとき、$ab + \frac{1}{ab} \ge 2$が成り立つ。

（等号成立は、$ab=1$のとき）