(1) $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ を満たす正の整数 $x, y$ の組をすべて求める。 (2) $x^2 + 6y^2 = 360$ を満たす正の整数 $x, y$ の組をすべて求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ を満たす正の整数 $x, y$ の組をすべて求める。

(2) $x^2 + 6y^2 = 360$ を満たす正の整数 $x, y$ の組をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ を変形する。

$\frac{y-x}{xy} = \frac{1}{4}$

$4(y-x) = xy$

$4y - 4x = xy$

$xy - 4y + 4x = 0$

$xy - 4y + 4x - 16 = -16$

$(x-4)(y+4) = -16$

$x, y$ は正の整数なので、$y+4>4$。また、$x-4$ は整数である。

$-16 = (-1) \times 16 = (-2) \times 8 = (-4) \times 4 = (-8) \times 2 = (-16) \times 1$

$y+4$ が4より大きい整数であることから、あり得る組み合わせは以下の通り。

$(x-4, y+4) = (-1, 16), (-2, 8)$

$(x, y) = (3, 12), (2, 4)$

しかし、$x$ は正の整数でなければならないため、$(x, y) = (3, 12)$ のみが解となる。

(2)

$x^2 + 6y^2 = 360$

$x^2 = 360 - 6y^2 = 6(60 - y^2)$

$x^2$ が 6 の倍数なので、$x$ は 6 の倍数でなければならない。

$x = 6k$ とおく ($k$ は正の整数)。

$(6k)^2 + 6y^2 = 360$

$36k^2 + 6y^2 = 360$

$6k^2 + y^2 = 60$

$y^2 = 60 - 6k^2 = 6(10 - k^2)$

$y^2$ が 6 の倍数なので、$y$ は 6 の倍数でなければならない。

$y = 6m$ とおく ($m$ は正の整数)。

$6k^2 + (6m)^2 = 60$

$6k^2 + 36m^2 = 60$

$k^2 + 6m^2 = 10$

$k, m$ は正の整数なので、

$m=1$ のとき $k^2 = 10 - 6 = 4$ より $k = 2$

$x = 6k = 6(2) = 12$

$y = 6m = 6(1) = 6$

$m=2$ のとき $k^2 = 10 - 6(4) = 10 - 24 = -14$ となり不適。

よって $(x, y) = (12, 6)$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (3, 12)$

(2) $(x, y) = (12, 6)$