初項が30、公差が-4である等差数列 $\{a_n\}$ がある。 (1) 第何項が初めて負の数になるか。 (2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和 $S$ を求めよ。 (3) 初項から第何項までの和が、初めて負の数になるか。

1. 問題の内容

初項が30、公差が-4である等差数列 $\{a_n\}$ がある。

(1) 第何項が初めて負の数になるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和 $S$ を求めよ。

(3) 初項から第何項までの和が、初めて負の数になるか。

2. 解き方の手順

(1) 第n項が初めて負の数になるかを求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で与えられる。ここで、$a_1 = 30$、 $d = -4$ であるから、

$a_n = 30 + (n-1)(-4) = 30 - 4n + 4 = -4n + 34$ となる。

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$-4n + 34 < 0$

$-4n < -34$

$4n > 34$

$n > \frac{34}{4} = \frac{17}{2} = 8.5$

$n$ は整数であるから、$n = 9$ が初めて負の数になる項である。

(2) 初項から第何項までの和が最大になるかを求める。

$a_n = -4n + 34$ より、$a_1 = 30, a_2 = 26, a_3 = 22, \dots, a_8 = 2, a_9 = -2, \dots$ となる。

和が最大となるのは、$a_n$ が初めて負になる直前まで、つまり第8項までの和である。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で与えられる。

$S_8 = \frac{8}{2}(a_1 + a_8) = \frac{8}{2}(30 + 2) = 4(32) = 128$

(3) 初項から第何項までの和が、初めて負の数になるかを求める。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ で与えられる。

$S_n = \frac{n}{2}(2(30) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(60 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(64 - 4n) = n(32 - 2n)$

$S_n < 0$ となる $n$ を求める。

$n(32 - 2n) < 0$

$2n(16 - n) < 0$

$n(16 - n) < 0$

$n > 0$ より、$16 - n < 0$

$n > 16$

よって、初項から第17項までの和が初めて負の数になる。

3. 最終的な答え

(1) 第9項

(2) 第8項までの和が最大、その和は128

(3) 第17項