与えられた写像 $f(\vec{x})$ が一次変換であるかどうかを判定し、一次変換であれば対応する行列を求める問題です。$\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とします。 (1) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ (2) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x+1 \\ y-1 \end{pmatrix}$ (3) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}$ (4) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた写像 $f(\vec{x})$ が一次変換であるかどうかを判定し、一次変換であれば対応する行列を求める問題です。$\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とします。

(1) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

(2) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x+1 \\ y-1 \end{pmatrix}$

(3) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}$

(4) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

一次変換であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(i) $f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$

(ii) $f(c\vec{x}) = cf(\vec{x})$ (cはスカラー)

(1) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

一次変換であることを確認します。

(i) $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$, $\vec{y} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ とすると、

$f(\vec{x} + \vec{y}) = f\left(\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} y_1+y_2 \\ x_1+x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ x_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_2 \\ x_2 \end{pmatrix} = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$

(ii) $f(c\vec{x}) = f\left(\begin{pmatrix} cx \\ cy \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} cy \\ cx \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = cf(\vec{x})$

したがって、これは一次変換です。

$\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

対応する行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ です。

(2) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x+1 \\ y-1 \end{pmatrix}$

もしこれが一次変換であれば、$f(\vec{0}) = \vec{0}$ が成立するはずですが、$f(\vec{0}) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \neq \vec{0}$ です。

したがって、これは一次変換ではありません。

(3) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}$

(ii)を確認します。$f(c\vec{x}) = f\left(\begin{pmatrix} cx \\ cy \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} (cx)(cy) \\ cy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c^2xy \\ cy \end{pmatrix}$

一方、$cf(\vec{x}) = c\begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cxy \\ cy \end{pmatrix}$

$c^2xy \neq cxy$ なので、これは一次変換ではありません。

(4) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$

(ii)を確認します。$f(c\vec{x}) = f\left(\begin{pmatrix} cx \\ cy \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} (cx)^2 \\ cy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c^2x^2 \\ cy \end{pmatrix}$

一方、$cf(\vec{x}) = c\begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cx^2 \\ cy \end{pmatrix}$

$c^2x^2 \neq cx^2$ なので、これは一次変換ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 一次変換であり、対応する行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ です。

(2) 一次変換ではありません。

(3) 一次変換ではありません。

(4) 一次変換ではありません。