方程式 $x^2 + y^2 + ax - (a+3)y + \frac{5}{2}a^2 = 0$ が円を表すとき、 (1) 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) この円の半径が最大になるとき、その大きさと定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + ax - (a+3)y + \frac{5}{2}a^2 = 0$ が円を表すとき、

(1) 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) この円の半径が最大になるとき、その大きさと定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式の一般形は $(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$ (ただし $r>0$) です。与えられた方程式をこの形に変形します。

まず、与えられた方程式を平方完成します。

$x^2 + ax + y^2 - (a+3)y + \frac{5}{2}a^2 = 0$

$(x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a+3}{2})^2 - (\frac{a+3}{2})^2 + \frac{5}{2}a^2 = 0$

$(x + \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a+3}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a+3}{2})^2 - \frac{5}{2}a^2$

$(x + \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a+3}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2+6a+9}{4} - \frac{10a^2}{4}$

$(x + \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a+3}{2})^2 = \frac{-8a^2 + 6a + 9}{4}$

この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要があります。したがって、

$\frac{-8a^2 + 6a + 9}{4} > 0$

$-8a^2 + 6a + 9 > 0$

$8a^2 - 6a - 9 < 0$

この不等式を解くために、まず $8a^2 - 6a - 9 = 0$ の解を求めます。

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(8)(-9)}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 288}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{16} = \frac{6 \pm 18}{16}$

したがって、$a = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ または $a = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$

$8a^2 - 6a - 9 < 0$ を満たす $a$ の範囲は、 $-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{2}$

(2) 円の半径 $r$ は $r^2 = \frac{-8a^2 + 6a + 9}{4}$ であり、$r>0$ であるから $r = \frac{\sqrt{-8a^2 + 6a + 9}}{2}$ となります。

半径が最大になるのは $-8a^2 + 6a + 9$ が最大になるときです。

$-8a^2 + 6a + 9 = -8(a^2 - \frac{3}{4}a) + 9 = -8(a - \frac{3}{8})^2 + 8(\frac{9}{64}) + 9 = -8(a - \frac{3}{8})^2 + \frac{9}{8} + 9 = -8(a - \frac{3}{8})^2 + \frac{81}{8}$

したがって、$-8a^2 + 6a + 9$ は $a = \frac{3}{8}$ のとき最大値 $\frac{81}{8}$ を取ります。

このとき、半径 $r = \frac{\sqrt{\frac{81}{8}}}{2} = \frac{\frac{9}{\sqrt{8}}}{2} = \frac{9}{2\sqrt{8}} = \frac{9}{4\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{2}$

(2) $a = \frac{3}{8}$ のとき、半径は $\frac{9\sqrt{2}}{8}$ で最大となる。