ある整式を $(x+2)(x-1)$ で割ったときの余りが $3x+1$ である。 (1) $(x+2)(x-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とおくとき、この整式を表せ。 (2) この整式を $x-1$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

ある整式を $(x+2)(x-1)$ で割ったときの余りが $3x+1$ である。

(1) $(x+2)(x-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とおくとき、この整式を表せ。

(2) この整式を $x-1$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 求める整式を $P(x)$ とすると、問題文より、

$P(x) = (x+2)(x-1)Q(x) + 3x + 1$

これが(1)の答えです。

(2) (1)で求めた $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りを求める。剰余の定理より、$P(1)$ が求める余りとなる。

$P(1) = (1+2)(1-1)Q(1) + 3(1) + 1$

$= (3)(0)Q(1) + 3 + 1$

$= 0 + 4$

$= 4$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x-1)Q(x) + 3x + 1$

(2) $4$