複数の二次関数の最大値・最小値を求める問題と、二次関数の式を決定する問題が出題されています。具体的には以下の通りです。 [3] $y = -4x^2 + 8x + 2$ （$-2 \le x \le 0$）の最小値を与える $x$ の値を求める。 [4] $y = 2x^2 - 4x + 2$ （$-1 \le x \le 2$）の最大値を与える $x$ の値を求める。 [5] $y = -x^2 - 2x + 3$ （$0 \le x \le 3$）の最大値を与える $x$ の値を求める。 [6] $y = 2x^2 - 4x$ （$-1 \le x \le 2$）の最大値を与える $x$ の値を求める。 [7] 頂点が点(3, 4)で点(4, 0)を通る2次関数の式を求める。 [8] $y = x^2 - 2x + 2$ （$0 \le x \le 3$）の最大値を与える $x$ の値を求める。 [9] $y = -x^2 - 2x + 2$ （$0 \le x \le 2$）の最小値を与える $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

複数の二次関数の最大値・最小値を求める問題と、二次関数の式を決定する問題が出題されています。具体的には以下の通りです。

[3] $y = -4x^2 + 8x + 2$ （$-2 \le x \le 0$）の最小値を与える $x$ の値を求める。

[4] $y = 2x^2 - 4x + 2$ （$-1 \le x \le 2$）の最大値を与える $x$ の値を求める。

[5] $y = -x^2 - 2x + 3$ （$0 \le x \le 3$）の最大値を与える $x$ の値を求める。

[6] $y = 2x^2 - 4x$ （$-1 \le x \le 2$）の最大値を与える $x$ の値を求める。

[7] 頂点が点(3, 4)で点(4, 0)を通る2次関数の式を求める。

[8] $y = x^2 - 2x + 2$ （$0 \le x \le 3$）の最大値を与える $x$ の値を求める。

[9] $y = -x^2 - 2x + 2$ （$0 \le x \le 2$）の最小値を与える $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

[3] $y = -4x^2 + 8x + 2$ の最小値を求める。

まず平方完成を行う: $y = -4(x^2 - 2x) + 2 = -4((x - 1)^2 - 1) + 2 = -4(x - 1)^2 + 4 + 2 = -4(x - 1)^2 + 6$

この関数の頂点は(1, 6)である。定義域は$-2 \le x \le 0$である。

$x = -2$のとき、$y = -4(-2 - 1)^2 + 6 = -4(9) + 6 = -36 + 6 = -30$

$x = 0$のとき、$y = -4(0 - 1)^2 + 6 = -4(1) + 6 = -4 + 6 = 2$

最小値は$x = -2$のとき、$-30$である。

[4] $y = 2x^2 - 4x + 2$ の最大値を求める。

平方完成を行う: $y = 2(x^2 - 2x) + 2 = 2((x - 1)^2 - 1) + 2 = 2(x - 1)^2 - 2 + 2 = 2(x - 1)^2$

この関数の頂点は(1, 0)である。定義域は$-1 \le x \le 2$である。

$x = -1$のとき、$y = 2(-1 - 1)^2 = 2(-2)^2 = 2(4) = 8$

$x = 2$のとき、$y = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2$

最大値は$x = -1$のとき、8である。

[5] $y = -x^2 - 2x + 3$ の最大値を求める。

平方完成を行う: $y = -(x^2 + 2x) + 3 = -((x + 1)^2 - 1) + 3 = -(x + 1)^2 + 1 + 3 = -(x + 1)^2 + 4$

この関数の頂点は(-1, 4)である。定義域は$0 \le x \le 3$である。

$x = 0$のとき、$y = -(0 + 1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$

$x = 3$のとき、$y = -(3 + 1)^2 + 4 = -16 + 4 = -12$

頂点(-1, 4)は定義域に含まれないため、最大値は$x = 0$のとき、3である。ただし、この問題では、頂点は範囲外ですが、放物線の軸はx=-1なので、x=0のときのyの値が最大。

[6] $y = 2x^2 - 4x$ の最大値を求める。

平方完成を行う: $y = 2(x^2 - 2x) = 2((x - 1)^2 - 1) = 2(x - 1)^2 - 2$

この関数の頂点は(1, -2)である。定義域は$-1 \le x \le 2$である。

$x = -1$のとき、$y = 2(-1 - 1)^2 - 2 = 2(-2)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$

$x = 2$のとき、$y = 2(2 - 1)^2 - 2 = 2 - 2 = 0$

最大値は$x = -1$のとき、6である。

[7] 頂点が点(3, 4)で点(4, 0)を通る2次関数の式を求める。

頂点が(3, 4)なので、$y = a(x - 3)^2 + 4$とおける。

点(4, 0)を通るので、$0 = a(4 - 3)^2 + 4$

$0 = a + 4$

$a = -4$

したがって、$y = -4(x - 3)^2 + 4$。ここで問題文の形にあわせるため、$y = -4(x-3)^2 + 4 = -4(x + (-3))^2 + 4$

[8] $y = x^2 - 2x + 2$ の最大値を求める。

平方完成を行う: $y = (x^2 - 2x) + 2 = ((x - 1)^2 - 1) + 2 = (x - 1)^2 + 1$

この関数の頂点は(1, 1)である。定義域は$0 \le x \le 3$である。

$x = 0$のとき、$y = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$x = 3$のとき、$y = (3 - 1)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

最大値は$x = 3$のとき、5である。

[9] $y = -x^2 - 2x + 2$ の最小値を求める。

平方完成を行う: $y = -(x^2 + 2x) + 2 = -((x + 1)^2 - 1) + 2 = -(x + 1)^2 + 1 + 2 = -(x + 1)^2 + 3$

この関数の頂点は(-1, 3)である。定義域は$0 \le x \le 2$である。

$x = 0$のとき、$y = -(0 + 1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2$

$x = 2$のとき、$y = -(2 + 1)^2 + 3 = -9 + 3 = -6$

最小値は$x = 2$のとき、-6である。

3. 最終的な答え

[3] $x = -2$

[4] $x = -1$

[5] $x = 0$

[6] $x = -1$

[7] $y = -4(x - 3)^2 + 4$

[8] $x = 3$

[9] $x = 2$