次の式を展開する。 (1) $(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)(a^3+8b^3)$ (2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ (3) $(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)$ (4) $(x-y+z)^3$

はい、承知しました。以下の形式で、画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の式を展開する。

(1) $(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)(a^3+8b^3)$

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

(3) $(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)$

(4) $(x-y+z)^3$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)$ を展開します。これは $a^3 - (2b)^3$ の公式を利用できます。

$(a-2b)(a^2+2ab+4b^2) = a^3 - 8b^3$

次に、$(a^3-8b^3)(a^3+8b^3)$ を展開します。これは $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ の公式を利用できます。

$(a^3-8b^3)(a^3+8b^3) = (a^3)^2 - (8b^3)^2 = a^6 - 64b^6$

(2)

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を展開します。まず、$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

次に、$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)$ を展開します。$y = x^2+5x$ と置換すると、$(y+4)(y+6)$ となり展開が簡単になります。

$(y+4)(y+6) = y^2 + 10y + 24$

ここで $y = x^2+5x$ を代入します。

$(x^2+5x)^2 + 10(x^2+5x) + 24 = (x^4+10x^3+25x^2) + (10x^2+50x) + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

(3)

$(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)$ を展開します。

まず、$(a+(b+c))(a-(b+c)) = a^2 - (b+c)^2 = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$

$(a-(b-c))(a+(b-c)) = a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$

次に、$(a^2 - b^2 - c^2 - 2bc)(a^2 - b^2 - c^2 + 2bc)$ を展開します。 $z = a^2 - b^2 - c^2$ と置換すると、$(z - 2bc)(z + 2bc) = z^2 - (2bc)^2$ となり展開が簡単になります。

$(z - 2bc)(z + 2bc) = z^2 - 4b^2c^2$

ここで $z = a^2 - b^2 - c^2$ を代入します。

$(a^2 - b^2 - c^2)^2 - 4b^2c^2 = (a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + 2b^2c^2) - 4b^2c^2 = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

(4)

$(x-y+z)^3$ を展開します。

$(x-y+z)^3 = ((x-y)+z)^3 = (x-y)^3 + 3(x-y)^2z + 3(x-y)z^2 + z^3$

$= (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 3(x^2-2xy+y^2)z + 3(x-y)z^2 + z^3$

$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + 3x^2z - 6xyz + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 + z^3$

$= x^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z - 6xyz + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2$

$= x^3 - y^3 + z^3 + 3x^2(-y+z) + 3y^2(x+z) + 3z^2(x-y) - 6xyz$

$= x^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 - 6xyz$

$= x^3 - y^3 + z^3 + 3x^2(z-y) + 3y^2(x+z) + 3z^2(x-y) - 6xyz$

3. 最終的な答え

(1) $a^6 - 64b^6$

(2) $x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

(3) $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

(4) $x^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 - 6xyz$

あるいは、$x^3 + (-y)^3 + z^3 + 3 x (-y) z$

$(x-y+z)^3 = x^3-3x^2y+3x^2z+3xy^2-6xyz+3xz^2-y^3+3y^2z-3yz^2+z^3$

$x^3-y^3+z^3-3x^2y+3xy^2+3x^2z-6xyz+3y^2z+3xz^2-3yz^2$

$x^3+(-y)^3+z^3+3x^2(z-y)+3z^2(x-y)+3y^2(z+x)-6xyz$

$x^3+(-y)^3+z^3-3xy(x-y)-3yz(y-z)-3xz(x-z)$

$x^3-y^3+z^3+3x^2(z-y)+3xz(x-z)-6xyz$

$x^3-y^3+z^3-3x^2y+3xy^2+3x^2z-6xyz+3y^2z+3xz^2-3yz^2$

これで問題の解答は完了です。