$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式 $x^3 - ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解をもつような $a$ の値を求め、実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数を求める。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式 $x^3 - ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解をもつような $a$ の値を求め、実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 - ax + 2$ とおく。

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、そのうち1つは重解になっている。

$f'(x) = 3x^2 - a$

$f(x) = 0$ が重解を持つとき、$f(x) = 0$ と $f'(x) = 0$ を満たす $x$ が存在する。

$3x^2 - a = 0$ より、$a = 3x^2$

これを $x^3 - ax + 2 = 0$ に代入すると、

$x^3 - (3x^2)x + 2 = 0$

$x^3 - 3x^3 + 2 = 0$

$-2x^3 + 2 = 0$

$2x^3 = 2$

$x^3 = 1$

$x = 1$

このとき、$a = 3x^2 = 3(1)^2 = 3$

$a = 3$ のとき、$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x^2+x-2) = 0$

$(x-1)(x-1)(x+2) = 0$

$(x-1)^2(x+2) = 0$

$x = 1, -2$

よって、$a = 3$ のとき、異なる2つの実数解 $x = 1, -2$ を持つ。

次に、$f(x) = x^3 - ax + 2$ がただ1つの実数解を持つような $a$ の値を考える。

$f'(x) = 3x^2 - a$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$ ($a>0$の時)

$f(x)$ がただ1つの実数解を持つためには、$f(x)$ の極大値と極小値が同符号である必要がある。つまり、$f(x)$ の極大値と極小値の積が正である必要がある。

$x_1 = \sqrt{\frac{a}{3}}$, $x_2 = -\sqrt{\frac{a}{3}}$ とおく。

$f(x_1) = (\sqrt{\frac{a}{3}})^3 - a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2 = \frac{a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} - a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2 = -\frac{2}{3}a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2$

$f(x_2) = (-\sqrt{\frac{a}{3}})^3 - a(-\sqrt{\frac{a}{3}}) + 2 = -\frac{a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} + a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2 = \frac{2}{3}a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2$

$f(x_1) f(x_2) > 0$

$(-\frac{2}{3}a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2)(\frac{2}{3}a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2) > 0$

$4 > \frac{4}{9}a^2 \frac{a}{3}$

$4 > \frac{4}{27}a^3$

$1 > \frac{1}{27}a^3$

$27 > a^3$

$a < 3$

$f'(x)=3x^2-a$

$a \le 0$ であれば、$f'(x) \ge 0$ となり単調増加なので、ただ1つの実数解を持つ。

$a$ が負の整数の場合、$x^3 - ax + 2 = 0$ の解はただ一つとなる。

$f(x)$ が単調増加のとき、$a \leq 0$

$a = 0$ のとき、$x^3 + 2 = 0$, $x = -\sqrt[3]{2}$ (実数解1つ)

$a=1$ のとき、$x^3 - x + 2 = 0$ は実数解を1つ持つ。

$a=2$ のとき、$x^3 - 2x + 2 = 0$ は実数解を1つ持つ。

$a=3$ のとき、$x^3 - 3x + 2 = 0$ は実数解を2つ持つ。

$f(x)$がただ一つの実数解を持つ$a$の値の範囲は $a < 3$。従って、$a$ の最大の整数値は 2 である。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$a = 2$