$\tan \theta = t$ とおいたとき、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$y = 2t^2 + 4t + 5$ の最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。また、最大値が存在するかどうかを調べる。

1. 問題の内容

$\tan \theta = t$ とおいたとき、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$y = 2t^2 + 4t + 5$ の最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。また、最大値が存在するかどうかを調べる。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $t$ で表した式を平方完成する。

$y = 2t^2 + 4t + 5 = 2(t^2 + 2t) + 5 = 2(t^2 + 2t + 1 - 1) + 5 = 2((t+1)^2 - 1) + 5 = 2(t+1)^2 - 2 + 5 = 2(t+1)^2 + 3$

したがって、$y = 2(t+1)^2 + 3$ である。

$t$ がすべての実数値をとるとき、$y$ は $t = -1$ で最小値 $3$ をとる。

このとき、$2(t+1)^2 \ge 0$ であるため、$y \ge 3$ であり、最大値は存在しない。

$t = -1$ のとき、$\tan \theta = -1$ となる $\theta$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求める。

$\tan \theta = -1$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{3}{4}\pi$ と $\theta = \frac{7}{4}\pi$ である。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi$ で最小値 $3$ をとる。最大値はない。