与えられた不等式 $|2x+5| \geq 9$ を解き、$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2x+5| \geq 9$ を解き、$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くには、絶対値の中身が正の場合と負の場合に分けて考える。

(i) $2x+5 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq -\frac{5}{2}$ のとき

$|2x+5| = 2x+5$ なので、不等式は $2x+5 \geq 9$ となる。

これを解くと、

$2x \geq 9-5$

$2x \geq 4$

$x \geq 2$

$x \geq -\frac{5}{2}$ という条件と $x \geq 2$ という条件から、$x \geq 2$ が得られる。

(ii) $2x+5 < 0$ のとき、つまり $x < -\frac{5}{2}$ のとき

$|2x+5| = -(2x+5)$ なので、不等式は $-(2x+5) \geq 9$ となる。

これを解くと、

$-2x-5 \geq 9$

$-2x \geq 9+5$

$-2x \geq 14$

$2x \leq -14$

$x \leq -7$

$x < -\frac{5}{2}$ という条件と $x \leq -7$ という条件から、$x \leq -7$ が得られる。

したがって、解は $x \geq 2$ または $x \leq -7$ となる。

3. 最終的な答え

$x \leq -7$ または $x \geq 2$