数列 $\{a_n\}$ が、$a_n^2 = \sum_{k=1}^n a_k$, $a_n > 0$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されている。 (1) $a_1$ と $a_2$ を求める。 (2) $\frac{n}{2} \leq a_n \leq \frac{n + \sqrt{n}}{2}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を示す。 (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_n^2 = \sum_{k=1}^n a_k$, $a_n > 0$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されている。

(1) $a_1$ と $a_2$ を求める。

(2) $\frac{n}{2} \leq a_n \leq \frac{n + \sqrt{n}}{2}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を示す。

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ と $a_2$ を求める。

$n=1$ のとき、$a_1^2 = a_1$。$a_1 > 0$ より、$a_1 = 1$。

$n=2$ のとき、$a_2^2 = a_1 + a_2 = 1 + a_2$。

したがって、$a_2^2 - a_2 - 1 = 0$。

$a_2 > 0$ より、$a_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。

(2) $\frac{n}{2} \leq a_n \leq \frac{n + \sqrt{n}}{2}$ を示す。

数学的帰納法を用いる。

$n=1$ のとき、$\frac{1}{2} \leq a_1 = 1 \leq \frac{1 + \sqrt{1}}{2} = 1$ より成り立つ。

$n=2$ のとき、$\frac{2}{2} = 1 \leq a_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \leq \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \approx 1.707$ より成り立つ。

$n=k$ のとき、$\frac{k}{2} \leq a_k \leq \frac{k + \sqrt{k}}{2}$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1}^2 = \sum_{i=1}^{k+1} a_i = \sum_{i=1}^k a_i + a_{k+1} = a_k^2 + a_{k+1}$。

よって、$a_{k+1}^2 - a_{k+1} - a_k^2 = 0$。

$a_{k+1} > 0$ より、$a_{k+1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a_k^2}}{2}$。

帰納法の仮定より、$a_k \geq \frac{k}{2}$ なので、$a_k^2 \geq \frac{k^2}{4}$。

したがって、$a_{k+1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a_k^2}}{2} \geq \frac{1 + \sqrt{1 + k^2}}{2}$。

ここで、$1 + k^2 > (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$ が、$2k > 0$ の範囲で成り立つから、$\frac{1 + \sqrt{1 + k^2}}{2} > \frac{1 + (k+1)}{2} = \frac{k+2}{2}$は、$k>0$の範囲で成立しない。

$a_{n+1}^2 = a_n^2 + a_{n+1}$

$a_{n+1}^2 - a_{n+1} = a_n^2$

$a_{n+1} = \frac{1 + \sqrt{1+4a_n^2}}{2}$

$\frac{n}{2} \leq a_n \leq \frac{n+\sqrt{n}}{2}$と仮定すると、

$\frac{1 + \sqrt{1+4(\frac{n}{2})^2}}{2} \leq a_{n+1} \leq \frac{1 + \sqrt{1+4(\frac{n+\sqrt{n}}{2})^2}}{2}$

$\frac{1 + \sqrt{1+n^2}}{2} \leq a_{n+1} \leq \frac{1 + \sqrt{1+(n+\sqrt{n})^2}}{2}$

$\frac{1 + \sqrt{1+n^2}}{2} \geq \frac{n+1}{2}$を示す必要がある。$1+n^2 \geq (n+1-1)^2$

$1+n^2 > (n+1)^2-2(n+1)+1$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}$ を求める。

$\frac{n}{2n} \leq \frac{a_n}{n} \leq \frac{n + \sqrt{n}}{2n}$

$\frac{1}{2} \leq \frac{a_n}{n} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{n}}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{n}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{2}$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}$ (挟み撃ちの原理)

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) 証明は上記参照

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}$