2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ が点 $P(0, 2)$, $Q(-1, 12)$, $R(1, -4)$ を通る時、定数 $a, b, c$ の値を求める。また、$f(x)$ のグラフの頂点の座標と、$-2 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求める。さらに、$g(x) = -x^2 + k$ とするとき、$f(x) > g(x)$ を満たす $k$ の範囲、$f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を求め、その上で $f(x) < 0$ を満たすすべての $x$ について $g(x) > 0$ となる $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ が点 $P(0, 2)$, $Q(-1, 12)$, $R(1, -4)$ を通る時、定数 $a, b, c$ の値を求める。また、$f(x)$ のグラフの頂点の座標と、$-2 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求める。さらに、$g(x) = -x^2 + k$ とするとき、$f(x) > g(x)$ を満たす $k$ の範囲、$f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を求め、その上で $f(x) < 0$ を満たすすべての $x$ について $g(x) > 0$ となる $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

問1(1):

点 $P(0, 2)$ を通ることから、$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 2$

点 $Q(-1, 12)$ を通ることから、$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 12$

点 $R(1, -4)$ を通ることから、$f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = -4$

$c = 2$ より、

$a - b + 2 = 12$ なので、 $a - b = 10$

$a + b + 2 = -4$ なので、 $a + b = -6$

2式を足すと、$2a = 4$ より $a = 2$

$a + b = -6$ より、 $2 + b = -6$ なので $b = -8$

(2) $f(x) = 2x^2 - 8x + 2$

$f(x) = 2(x^2 - 4x) + 2 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = 2(x - 2)^2 - 8 + 2 = 2(x - 2)^2 - 6$

よって、頂点の座標は $(2, -6)$

(3) $-2 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求める。

軸 $x = 2$ を含む区間なので、頂点で最小値を取る。最大値は端点で取る。

$f(-2) = 2(-2)^2 - 8(-2) + 2 = 8 + 16 + 2 = 26$

$f(3) = 2(3)^2 - 8(3) + 2 = 18 - 24 + 2 = -4$

よって、最大値は $26$

問2(1) $f(x) = 2x^2 - 8x + 2 = 0$ を解く。

$x^2 - 4x + 1 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

よって、軸との交点は $(2-\sqrt{3}, 0)$, $(2+\sqrt{3}, 0)$

(i) すべての実数 $x$ について $f(x) > g(x)$ となる $k$ の範囲を求める。

$2x^2 - 8x + 2 > -x^2 + k$

$3x^2 - 8x + 2 - k > 0$

判別式 $D = (-8)^2 - 4(3)(2 - k) = 64 - 24 + 12k = 40 + 12k < 0$

$12k < -40$

$k < -\frac{40}{12} = -\frac{10}{3}$

(ii) $f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲は、$2-\sqrt{3} < x < 2+\sqrt{3}$

$f(x) < 0$ を満たすすべての $x$ について $g(x) > 0$ となる $k$ の範囲を求める。

$g(x) = -x^2 + k > 0$ より $x^2 < k$

$k$ は $x^2$ の最大値より大きい必要がある。$2-\sqrt{3} < x < 2+\sqrt{3}$ の範囲で、$x^2$ は $x = 2-\sqrt{3}$ または $x = 2+\sqrt{3}$ で最大となる。

$(2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

$(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

$k \ge 7 + 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

問1(1): ア:2, イウ:12, エオ:-4, カ:2, キ:-8

(2): ク:2, ケ:-6

(3): コサ:26

問2(1): シ:2, ス:3

(i): セン:-10, タ:3

(ii): チ:0, ツ:7, テ:4, ト:3