$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$ を $a + b\sqrt{3}$ の形に変形できると仮定する。

すると、

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\sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3}

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両辺を2乗すると、

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28 + 10\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2

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28 + 10\sqrt{3} = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3}

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したがって、

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a^2 + 3b^2 = 28

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2ab = 10

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ab = 5

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$b = \frac{5}{a}$ を $a^2 + 3b^2 = 28$ に代入すると、

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a^2 + 3(\frac{5}{a})^2 = 28

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a^2 + \frac{75}{a^2} = 28

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両辺に $a^2$ を掛けると、

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a^4 + 75 = 28a^2

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a^4 - 28a^2 + 75 = 0

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ここで、$x = a^2$ とすると、

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x^2 - 28x + 75 = 0

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(x - 3)(x - 25) = 0

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したがって、$x = 3$ または $x = 25$。

$a^2 = 3$ のとき、$a = \sqrt{3}$ なので、$b = \frac{5}{\sqrt{3}}$となり、仮定した形に合わない。

$a^2 = 25$ のとき、$a = 5$ (正であるとして良い)なので、$b = \frac{5}{5} = 1$。

したがって、$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = 5 + \sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

$5 + \sqrt{3}$