xy平面上に2つの放物線$C: y=(x-a)^2+b$ と $D: y=-x^2$ がある。 (1) $C$ と $D$ が異なる2点で交わり、その2交点のx座標の差が1となるように実数$a, b$ が動くとき、$C$ の頂点$(a, b)$ の軌跡を図示する。 (2) 実数$a, b$ が(1)の条件を満たしながら動くとき、$C$ と $D$ の2交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め、図示する。

1. 問題の内容

xy平面上に2つの放物線$C: y=(x-a)^2+b$ と $D: y=-x^2$ がある。

(1) $C$ と $D$ が異なる2点で交わり、その2交点のx座標の差が1となるように実数$a, b$ が動くとき、$C$ の頂点$(a, b)$ の軌跡を図示する。

(2) 実数$a, b$ が(1)の条件を満たしながら動くとき、$C$ と $D$ の2交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め、図示する。

2. 解き方の手順

(1)

$C$ と $D$ の交点の$x$座標を求める。

$(x-a)^2+b = -x^2$

$x^2 - 2ax + a^2 + b = -x^2$

$2x^2 - 2ax + a^2 + b = 0$

判別式を$D$とすると、$D/4 = a^2 - 2(a^2+b) = -a^2 - 2b > 0$

$a^2 + 2b < 0$

2つの解を$\alpha, \beta$とすると、$\alpha + \beta = a$, $\alpha \beta = (a^2+b)/2$

$|\alpha - \beta| = 1$より、$(\alpha - \beta)^2 = 1$

$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 1$

$a^2 - 4(a^2+b)/2 = 1$

$a^2 - 2a^2 - 2b = 1$

$-a^2 - 2b = 1$

$a^2 + 2b = -1$

$2b = -a^2 - 1$

$b = -\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}$

これは$a^2+2b = -1 < 0$を満たす。

よって、頂点$(a, b)$ の軌跡は $y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}$

(2)

$C$ と $D$ の交点を通る直線の方程式を求める。

$2x^2 - 2ax + a^2 + b = 0$の2解を$x_1, x_2$とする。

$x_1+x_2 = a$, $x_1x_2 = \frac{a^2+b}{2}$

$y_1 = -x_1^2$, $y_2 = -x_2^2$

$b = -\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}$

直線の傾きは$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{-x_2^2+x_1^2}{x_2-x_1} = \frac{-(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_2-x_1} = -(x_1+x_2) = -a$

直線の方程式は$y - y_1 = -a(x-x_1)$

$y + x_1^2 = -a(x-x_1)$

$y = -ax + ax_1 - x_1^2$

$x_2 = x_1 + 1$なので、$x_1 + x_1+1 = a$、つまり $2x_1 + 1 = a$

$x_1 = \frac{a-1}{2}$

$y = -ax + a(\frac{a-1}{2}) - (\frac{a-1}{2})^2$

$y = -ax + \frac{a^2-a}{2} - \frac{a^2-2a+1}{4}$

$y = -ax + \frac{2a^2-2a - a^2 + 2a - 1}{4}$

$y = -ax + \frac{a^2-1}{4}$

$4y = -4ax + a^2 - 1$

$a^2 - 4xa - 4y - 1 = 0$

$a$に関する2次方程式として考える。

これが実数解を持つ条件は、判別式$D \ge 0$

$D/4 = (2x)^2 - ( -4y - 1) = 4x^2 + 4y + 1 \ge 0$

$4y \ge -4x^2 - 1$

$y \ge -x^2 - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}$

(2) $y \ge -x^2 - \frac{1}{4}$