同次連立一次方程式 $\begin{cases} -x + y + az = 0 \\ 5x - 2y + 15z = 0 \\ 4x - y + (a+15)z = 0 \\ (a+1)x + y - 6z = 0 \end{cases}$ が非自明な解をもつような $a$ の値を求め、その場合の非自明な解を求める。

1. 問題の内容

同次連立一次方程式

$\begin{cases}

-x + y + az = 0 \\

5x - 2y + 15z = 0 \\

4x - y + (a+15)z = 0 \\

(a+1)x + y - 6z = 0

\end{cases}$

が非自明な解をもつような $a$ の値を求め、その場合の非自明な解を求める。

2. 解き方の手順

この連立一次方程式が非自明な解を持つためには、係数行列の行列式が0でなければならない。しかし、4つの式があるため、直接行列式を計算するのは難しい。そこで、まず最初の2つの式から $x$ と $y$ を $z$ で表すことを試みる。

最初の2つの式から、

$\begin{cases}

-x + y = -az \\

5x - 2y = -15z

\end{cases}$

この連立方程式を解く。1番目の式を2倍して2番目の式に足すと、

$(-2x + 2y) + (5x - 2y) = -2az - 15z$

$3x = -(2a+15)z$

$x = -\frac{2a+15}{3}z$

1番目の式に代入すると、

$-\left(-\frac{2a+15}{3}z\right) + y = -az$

$\frac{2a+15}{3}z + y = -az$

$y = -az - \frac{2a+15}{3}z$

$y = \frac{-3a - 2a - 15}{3}z$

$y = -\frac{5a+15}{3}z$

したがって、

$x = -\frac{2a+15}{3}z$

$y = -\frac{5a+15}{3}z$

これらを残りの2つの式に代入する。

3番目の式：

$4x - y + (a+15)z = 0$

$4\left(-\frac{2a+15}{3}z\right) - \left(-\frac{5a+15}{3}z\right) + (a+15)z = 0$

$-\frac{8a+60}{3}z + \frac{5a+15}{3}z + (a+15)z = 0$

$\left(-\frac{8a+60}{3} + \frac{5a+15}{3} + a+15\right)z = 0$

$\left(\frac{-8a-60 + 5a+15 + 3a+45}{3}\right)z = 0$

$0z = 0$

これは常に成り立つ。

4番目の式：

$(a+1)x + y - 6z = 0$

$(a+1)\left(-\frac{2a+15}{3}z\right) + \left(-\frac{5a+15}{3}z\right) - 6z = 0$

$\left(-\frac{(a+1)(2a+15)}{3} - \frac{5a+15}{3} - 6\right)z = 0$

$-\frac{2a^2 + 17a + 15}{3} - \frac{5a+15}{3} - 6 = 0$

$-2a^2 - 17a - 15 - 5a - 15 - 18 = 0$

$-2a^2 - 22a - 48 = 0$

$2a^2 + 22a + 48 = 0$

$a^2 + 11a + 24 = 0$

$(a+3)(a+8) = 0$

$a = -3, -8$

$a = -3$のとき、

$x = -\frac{2(-3)+15}{3}z = -\frac{9}{3}z = -3z$

$y = -\frac{5(-3)+15}{3}z = -\frac{0}{3}z = 0$

よって $(x, y, z) = (-3z, 0, z) = (-3, 0, 1)$

$a = -8$のとき、

$x = -\frac{2(-8)+15}{3}z = -\frac{-1}{3}z = \frac{1}{3}z$

$y = -\frac{5(-8)+15}{3}z = -\frac{5}{3}z$

よって $(x, y, z) = (\frac{1}{3}z, -\frac{5}{3}z, z) = (1, -5, 3)$

3. 最終的な答え

$a = -3$のとき、非自明な解は $(x, y, z) = (-3, 0, 1)$

$a = -8$のとき、非自明な解は $(x, y, z) = (1, -5, 3)$

$a=-3, -8$

$a = -3$のとき $(x,y,z)=(-3,0,1)$

$a = -8$のとき $(x,y,z)=(1,-5,3)$