与えられた対数と指数の関係を変換し、対数の値を計算し、対数の式を簡略化し、$a$ と $b$ を使って対数を表現し、対数関数のグラフを描画します。

1. 問題の内容

与えられた対数と指数の関係を変換し、対数の値を計算し、対数の式を簡略化し、$a$ と $b$ を使って対数を表現し、対数関数のグラフを描画します。

2. 解き方の手順

(1) $2^{10} = 1024$ を対数で表す:

定義より、$x = a^y$ は $\log_a x = y$ と同値です。

したがって、$2^{10} = 1024$ は $\log_2 1024 = 10$ となります。

(2) $\log_2 \frac{1}{4} = -2$ を指数で表す:

定義より、$\log_a x = y$ は $x = a^y$ と同値です。

したがって、$\log_2 \frac{1}{4} = -2$ は $2^{-2} = \frac{1}{4}$ となります。

(3) $\log_3 81$ を計算する:

$81 = 3^4$ なので、$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$ となります。

(4) $\log_{64} 2$ を計算する:

$64 = 2^6$ なので、$2 = 64^{1/6}$ です。したがって、$\log_{64} 2 = \log_{64} 64^{1/6} = \frac{1}{6}$ となります。

(5) $\log_{\frac{1}{27}} 9$ を計算する:

$\frac{1}{27} = 3^{-3}$ であり、$9 = 3^2$ です。したがって、$\log_{\frac{1}{27}} 9 = \log_{3^{-3}} 3^2 = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$ となります。

(6) $\log_2 56 - \log_2 \frac{7}{8}$ を計算する:

対数の性質より、$\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ です。

したがって、$\log_2 56 - \log_2 \frac{7}{8} = \log_2 \frac{56}{\frac{7}{8}} = \log_2 (56 \cdot \frac{8}{7}) = \log_2 (8 \cdot 8) = \log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$ となります。

(7) $\frac{1}{2} \log_{10} 36 + \frac{4}{3} \log_{10} \frac{4}{3} - \log_{10} \frac{2}{25}$ を計算する:

対数の性質より、$n \log_a x = \log_a x^n$ です。

$\frac{1}{2} \log_{10} 36 = \log_{10} 36^{1/2} = \log_{10} 6$

$\frac{4}{3} \log_{10} \frac{4}{3} = \log_{10} (\frac{4}{3})^{\frac{4}{3}}$

与式 $= \log_{10} 6 + \log_{10} (\frac{4}{3})^{4/3} - \log_{10} \frac{2}{25} = \log_{10} \frac{6 \cdot (\frac{4}{3})^{4/3}}{\frac{2}{25}} = \log_{10} (75 \cdot (\frac{4}{3})^{4/3})$

(8) $\log_3 7 \cdot \log_7 9$ を計算する:

底の変換公式より、$\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}$ です。

したがって、$\log_3 7 \cdot \log_7 9 = \frac{\log 7}{\log 3} \cdot \frac{\log 9}{\log 7} = \frac{\log 9}{\log 3} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$ となります。

(9) $3 \log_3 6 - 2 \log_9 24$ を計算する:

$3 \log_3 6 = \log_3 6^3 = \log_3 216$

$2 \log_9 24 = \log_9 24^2 = \log_9 576 = \frac{\log_3 576}{\log_3 9} = \frac{\log_3 576}{2}$

与式 = $\log_3 216 - \frac{1}{2} \log_3 576 = \log_3 \frac{216}{\sqrt{576}} = \log_3 \frac{216}{24} = \log_3 9 = 2$

(10) $(\log_2 3 + \log_4 9) \log_3 4$ を計算する:

$\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{\log_2 9}{2} = \frac{1}{2} \log_2 9 = \log_2 9^{1/2} = \log_2 3$

$\log_2 3 + \log_4 9 = \log_2 3 + \log_2 3 = 2 \log_2 3$

与式 = $2 \log_2 3 \cdot \log_3 4 = 2 \frac{\log 3}{\log 2} \frac{\log 4}{\log 3} = 2 \frac{\log 4}{\log 2} = 2 \log_2 4 = 2 \cdot 2 = 4$

(11) $\log_2 7$ を $a$ と $b$ で表す:

$\log_2 7 = \frac{\log_3 7}{\log_3 2} = \frac{b}{a}$

(12) $\log_6 28$ を $a$ と $b$ で表す:

$\log_6 28 = \frac{\log_2 28}{\log_2 6} = \frac{\log_2 (4 \cdot 7)}{\log_2 (2 \cdot 3)} = \frac{\log_2 4 + \log_2 7}{\log_2 2 + \log_2 3} = \frac{2 + \frac{b}{a}}{1 + a} = \frac{2a+b}{a(1+a)}$

(13) $y = \log_{0.5} x$ のグラフ:

減少関数であり、$(1, 0)$ を通る。$x$ が大きくなるほど、$y$ は小さくなる。

(14) $y = \log_4 x$ のグラフ:

増加関数であり、$(1, 0)$ を通る。$x$ が大きくなるほど、$y$ も大きくなる。

3. 最終的な答え

(1) $\log_2 1024 = 10$

(2) $2^{-2} = \frac{1}{4}$

(3) $4$

(4) $\frac{1}{6}$

(5) $-\frac{2}{3}$

(6) $6$

(7) $\log_{10} (75 \cdot (\frac{4}{3})^{4/3})$

(8) $2$

(9) $2$

(10) $4$

(11) $\frac{b}{a}$

(12) $\frac{2a+b}{a(1+a)}$

(13) グラフは減少関数で $(1,0)$ を通る

(14) グラフは増加関数で $(1,0)$ を通る