正の整数 $n$ に対して、整数 $a_n, b_n$ が $\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n} = a_n + b_n\sqrt{2}$ によって定められる。このとき、$a_2$ と $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、整数 $a_n, b_n$ が $\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n} = a_n + b_n\sqrt{2}$ によって定められる。このとき、$a_2$ と $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_2$ を求めます。$n=2$ のとき、

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\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{9 + 12\sqrt{2} + 8} = \frac{1}{17 + 12\sqrt{2}}

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分母を有理化するために、$17 - 12\sqrt{2}$ を分母と分子にかけます。

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\frac{1}{17 + 12\sqrt{2}} = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{(17 + 12\sqrt{2})(17 - 12\sqrt{2})} = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{17^2 - (12\sqrt{2})^2} = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{289 - 288} = 17 - 12\sqrt{2}

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よって、$a_2 + b_2\sqrt{2} = 17 - 12\sqrt{2}$ なので、$a_2 = 17$ かつ $b_2 = -12$ です。

次に、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ を求めます。

$\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n} = a_n + b_n\sqrt{2}$ であり、$3+2\sqrt{2} > 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n} = 0$ です。

したがって、$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n\sqrt{2}) = 0$ となります。

$3+2\sqrt{2}$ の共役な数は $3-2\sqrt{2}$ であり、$0 < 3-2\sqrt{2} < 1$ です。

$\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n} = (3-2\sqrt{2})^n = a_n + b_n\sqrt{2}$ なので、

$a_n$ と $b_n$ を求めます。

$(3-2\sqrt{2})^n = a_n + b_n\sqrt{2}$ のとき、$(3+2\sqrt{2})^n = a_n - b_n\sqrt{2}$ となります。

$a_n = \frac{(3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n}{2}$

$b_n = \frac{(3-2\sqrt{2})^n - (3+2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}$

$\frac{a_n}{b_n} = \frac{(3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n}{\frac{(3-2\sqrt{2})^n - (3+2\sqrt{2})^n}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} \frac{(3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n}{(3-2\sqrt{2})^n - (3+2\sqrt{2})^n} = \sqrt{2} \frac{1 + (\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}})^n}{(\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}})^n - 1}$

$0 < \frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}})^n = 0$

よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \sqrt{2} \frac{1}{-1} = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a_2 = 17$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = -\sqrt{2}$