(1) 実数全体の集合を全体集合とし、集合 $A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \le 4\}$, $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ が与えられたとき、$A \cap C$ と $A \cup \overline{C}$ を求める。 (2) 自然数全体の集合 $U$ の部分集合 $A = \{n \mid n \text{は12の約数}\}$, $B = \{n \mid n \text{は20の約数}\}$, $C = \{n \mid n \text{は30の約数}\}$ が与えられたとき、$A \cap B$, $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $A \cup (B \cap C)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 実数全体の集合を全体集合とし、集合 $A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \le 4\}$, $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ が与えられたとき、$A \cap C$ と $A \cup \overline{C}$ を求める。

(2) 自然数全体の集合 $U$ の部分集合 $A = \{n \mid n \text{は12の約数}\}$, $B = \{n \mid n \text{は20の約数}\}$, $C = \{n \mid n \text{は30の約数}\}$ が与えられたとき、$A \cap B$, $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $A \cup (B \cap C)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、集合 $A$ と $B$ を定義する。

$A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \le 4\}$.

集合 $C$ は $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ で定義される。ド・モルガンの法則より、

$C = \overline{A \cap B}$.

$A \cap B = \{x \mid -1 \le x \le 4\}$.

したがって、

$C = \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$.

$A \cap C = \{x \mid -1 \le x < 5\} \cap \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\} = \{x \mid 4 < x < 5\}$.

$\overline{C} = A \cap B = \{x \mid -1 \le x \le 4\}$.

$A \cup \overline{C} = \{x \mid -1 \le x < 5\} \cup \{x \mid -1 \le x \le 4\} = \{x \mid -1 \le x < 5\}$.

(2)

$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$

$C = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$

$A \cap B = \{1, 2, 4\}$

$A \cap B \cap C = \{1, 2\}$

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30\}$

$B \cap C = \{1, 2, 5, 10\}$

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12\}$

3. 最終的な答え

(1)

$A \cap C = \{x \mid 4 < x < 5\}$

$A \cup \overline{C} = \{x \mid -1 \le x < 5\}$

(2)

$A \cap B = \{1, 2, 4\}$

$A \cap B \cap C = \{1, 2\}$

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30\}$

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12\}$