直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が14cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が14cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

* ABの長さを$x$とすると、BCの長さは$14-x$となる。ただし、$0 < x < 14$である。

* 三角形の面積Sは、$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2}x(14-x)$で表される。

* 面積Sを$x$の関数として表すと、$S(x) = \frac{1}{2}x(14-x) = -\frac{1}{2}x^2 + 7x$となる。

* S(x)を平方完成する。

$S(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 14x) = -\frac{1}{2}((x-7)^2 - 49) = -\frac{1}{2}(x-7)^2 + \frac{49}{2}$

* S(x)は上に凸の放物線であり、$x=7$のとき最大値$\frac{49}{2}$をとる。

* $x=7$のとき、$14-x = 14-7 = 7$である。

* $0 < x < 14$の条件を満たすので、$x=7$は妥当である。

* よって、面積の最大値は$\frac{49}{2}$である。

3. 最終的な答え

$\frac{49}{2} \text{ cm}^2$