与えられた連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \geq 3 \end{cases}$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \geq 3 \end{cases}$

を解く。

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式 $(\sqrt{3}-2)x < -1$ を解く。

$\sqrt{3}-2$ は負の数なので、両辺を $\sqrt{3}-2$ で割ると不等号の向きが変わる。

$x > \frac{-1}{\sqrt{3}-2}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3}+2$ を掛ける。

$x > \frac{-1(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{-\sqrt{3}-2}{3-4} = \frac{-\sqrt{3}-2}{-1} = \sqrt{3}+2$

次に、2つ目の不等式 $|1-x| \geq 3$ を解く。

絶対値の定義から、

$1-x \geq 3$ または $1-x \leq -3$

$1-x \geq 3$ の場合、$-x \geq 2$ となり、$x \leq -2$

$1-x \leq -3$ の場合、$-x \leq -4$ となり、$x \geq 4$

したがって、$x \leq -2$ または $x \geq 4$

連立不等式を解くには、それぞれの解の共通部分を見つける必要がある。

$x > \sqrt{3}+2$ かつ ($x \leq -2$ または $x \geq 4$)

$\sqrt{3}$ は約1.73なので、$\sqrt{3}+2$ は約3.73。

したがって、$x > \sqrt{3}+2$ と $x \geq 4$ の共通部分は $x \geq 4$ である。

また、$x > \sqrt{3}+2$ と $x \leq -2$ の共通部分は存在しない。

3. 最終的な答え

$x \geq 4$