## 解答

## 解答

### (8) 問題の内容

$x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$ を用いて表せ。

### (8) 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2$ となる $c_1, c_2$ を求める。

つまり、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$

連立方程式を立てる:

$2c_1 - 4c_2 = 4$

$c_1 - c_2 = 2$

２つ目の式を２倍して

$2c_1 - 2c_2 = 4$

１つ目の式から引くと、

$-2c_2 = 0$

よって、$c_2 = 0$

すると、$c_1 - 0 = 2$

$c_1 = 2$

したがって、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$

### (8) 最終的な答え

$x = 2a_1 + 0a_2$

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### (9) 問題の内容

$x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を用いて表せ。

### (9) 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3$ となる $c_1, c_2, c_3$ を求める。

つまり、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

連立方程式を立てる:

$2c_1 - 4c_2 + c_3 = 4$

$c_1 - c_2 = 2$

２つ目の式より $c_1 = c_2 + 2$。これを１つ目の式に代入して

$2(c_2 + 2) - 4c_2 + c_3 = 4$

$2c_2 + 4 - 4c_2 + c_3 = 4$

$-2c_2 + c_3 = 0$

$c_3 = 2c_2$

$c_2 = t$とおくと、$c_1 = t + 2$, $c_3 = 2t$

したがって、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = (t+2) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

例：$t = 0$とすると

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

例：$t = 1$とすると

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

### (9) 最終的な答え

$x = (t+2)a_1 + t a_2 + 2t a_3$ (tは任意の実数)

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### (10) 問題の内容

$x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を用いて表せ。

### (10) 解き方の手順

これは(9)と全く同じ問題なので、省略

### (10) 最終的な答え

$x = (t+2)a_1 + t a_2 + 2t a_3$ (tは任意の実数)

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### (11) 問題の内容

$x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $a_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ を用いて表せ。

### (11) 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 + c_4 a_4$ となる $c_1, c_2, c_3, c_4$ を求める。

つまり、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_4 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

連立方程式を立てる:

$2c_1 - 4c_2 + c_3 = 4$

$c_1 - c_2 - c_4 = 2$

２つ目の式より $c_1 = c_2 + c_4 + 2$。これを１つ目の式に代入して

$2(c_2 + c_4 + 2) - 4c_2 + c_3 = 4$

$2c_2 + 2c_4 + 4 - 4c_2 + c_3 = 4$

$-2c_2 + c_3 + 2c_4 = 0$

$c_3 = 2c_2 - 2c_4$

$c_2 = s$、$c_4 = t$とおくと、$c_1 = s + t + 2$, $c_3 = 2s - 2t$

したがって、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = (s+t+2) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + (2s-2t) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

例：$s = 0, t = 0$とすると

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

例：$s = 1, t = 1$とすると

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

### (11) 最終的な答え

$x = (s+t+2)a_1 + s a_2 + (2s-2t) a_3 + t a_4$ (s, tは任意の実数)

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### (12) 問題の内容

$x = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ を $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ を用いて表すことはできない。なぜか？説明せよ。

### (12) 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2$ となる $c_1, c_2$ を求める。

つまり、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

連立方程式を立てる:

$2c_1 - 4c_2 = 4$

$c_1 - 2c_2 = 4$

１つ目の式を２で割ると

$c_1 - 2c_2 = 2$

一方、２つ目の式は

$c_1 - 2c_2 = 4$

この２式を同時に満たす $c_1, c_2$ は存在しない。

$a_2 = -2 a_1$ であるため、$a_1$ と $a_2$ は平行（一次従属）である。したがって、$a_1$ と $a_2$ の線形結合で作れるベクトルは、$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍のみ。$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍ではないので、$a_1$ と $a_2$ の線形結合で表すことはできない。

### (12) 最終的な答え

$a_1$ と $a_2$ は一次従属（平行）なので、これらの線形結合で表せるベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍のみ。$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍ではないため、表すことができない。

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### (13) 問題の内容

$a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ を用いて表すことができる $x$ を求めよ。

### (13) 解き方の手順

$x = c_1 a_1 + c_2 a_2$ となる $x$ を求める。

$a_2 = -2 a_1$ より、$x = c_1 a_1 + c_2 (-2 a_1) = (c_1 - 2c_2) a_1$

したがって、$x$ は $a_1$ のスカラー倍となる。

$x = k a_1 = k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix}$ (kは任意の実数)

### (13) 最終的な答え

$x = \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix}$ (kは任意の実数)