行列式 $\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 3^2 & 4^2 & 5^2 \\ 3^3 & 4^3 & 5^3 \end{vmatrix}$ について、指定された手順で変形し、最終的な値を求める問題です。具体的には、各列から共通因子をくくり出し、行の操作を行って、最終的に1行について展開することで行列式を計算します。

1. 問題の内容

行列式 $\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 3^2 & 4^2 & 5^2 \\ 3^3 & 4^3 & 5^3 \end{vmatrix}$ について、指定された手順で変形し、最終的な値を求める問題です。具体的には、各列から共通因子をくくり出し、行の操作を行って、最終的に1行について展開することで行列式を計算します。

2. 解き方の手順

まず、第1列から共通因子3、第2列から共通因子4、第3列から共通因子5をくくり出すと、

$\Delta = 3 \times 4 \times 5 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3^2 & 4^2 & 5^2 \end{vmatrix} = 60 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 9 & 16 & 25 \end{vmatrix}$

次に、第1列の-1倍を第2列と第3列にそれぞれ加えると、

$\Delta = 60 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 9 & 7 & 16 \end{vmatrix}$

最後に、第1行について展開すると、

$\Delta = 60 \times 1 \times (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 16 \end{vmatrix} = 60 \times 1 \times (1 \times 16 - 2 \times 7) = 60 \times (16 - 14) = 60 \times 2 = 120$

したがって、

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 16 \end{vmatrix} = 16 - 14 = 2$

3. 最終的な答え

$\Delta = 120 \times 1 \times (-1)^{1+1} \times 2 + 0 + 0 = 60 \times 2 = 120$

したがって、空欄に当てはまる数は、左から順に、120, 2, 120 となります。