与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$AB$, $(AB)C$, $BC$, $A(BC)$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$AB$, $(AB)C$, $BC$, $A(BC)$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $AB$ を計算する。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+1 & 0+0+0 & 1+0+0 & 0+0+1 \\ 0+1+0 & 0+1+0 & 0+0+0 & 0+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $(AB)C$ を計算する。

$(AB)C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0+1+0 & 2+0+0+1 \\ 1+2+0+0 & 1+0+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $BC$ を計算する。

$BC = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+1+0 & 1+0+0+0 \\ 1+2+0+0 & 1+0+0+0 \\ 1+0+0+0 & 1+0+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(4) $A(BC)$ を計算する。

$A(BC) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0+1 & 1+0+2 \\ 0+3+0 & 0+1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$(AB)C = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

$BC = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$A(BC) = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$