与えられた2次不等式 $x^2 - 4x - 5 < 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $x^2 - 4x - 5 < 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、2次不等式の左辺を因数分解する。

$x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$

したがって、与えられた不等式は、

$(x - 5)(x + 1) < 0$

となる。

次に、$(x - 5)(x + 1) = 0$ を満たす $x$ の値を求める。

$x - 5 = 0$ より、$x = 5$

$x + 1 = 0$ より、$x = -1$

したがって、$x = -1$ と $x = 5$ が $(x - 5)(x + 1) = 0$ の解である。

次に、数直線を使い、$(x - 5)(x + 1)$ の符号を調べる。

- $x < -1$ のとき、$x - 5 < 0$ かつ $x + 1 < 0$ なので、$(x - 5)(x + 1) > 0$

- $-1 < x < 5$ のとき、$x - 5 < 0$ かつ $x + 1 > 0$ なので、$(x - 5)(x + 1) < 0$

- $x > 5$ のとき、$x - 5 > 0$ かつ $x + 1 > 0$ なので、$(x - 5)(x + 1) > 0$

したがって、$(x - 5)(x + 1) < 0$ を満たす $x$ の範囲は、$-1 < x < 5$ である。

3. 最終的な答え

$-1 < x < 5$