ベクトル $A = 2i + 2j + 2k$, $B = 3i + j + 2k$, $C = i + j + 3k$ が与えられたとき、次の問題を解く。 a) ベクトル $B$ の単位ベクトル $e$ を求めよ。 b) $2A \cdot (B - C)$ を求めよ。 c) $|(C - B) \times A|$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $A = 2i + 2j + 2k$, $B = 3i + j + 2k$, $C = i + j + 3k$ が与えられたとき、次の問題を解く。

a) ベクトル $B$ の単位ベクトル $e$ を求めよ。

b) $2A \cdot (B - C)$ を求めよ。

c) $|(C - B) \times A|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

a) ベクトル $B$ の単位ベクトル $e$ を求める。

まず、ベクトル $B$ の大きさ $|B|$ を計算する。

$|B| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

次に、単位ベクトル $e$ は $e = \frac{B}{|B|}$ で求められる。

$e = \frac{3i + j + 2k}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}i + \frac{1}{\sqrt{14}}j + \frac{2}{\sqrt{14}}k$

b) $2A \cdot (B - C)$ を求める。

まず、$B - C$ を計算する。

$B - C = (3i + j + 2k) - (i + j + 3k) = (3 - 1)i + (1 - 1)j + (2 - 3)k = 2i + 0j - k = 2i - k$

次に、$2A$ を計算する。

$2A = 2(2i + 2j + 2k) = 4i + 4j + 4k$

最後に、$2A \cdot (B - C)$ を計算する。

$2A \cdot (B - C) = (4i + 4j + 4k) \cdot (2i - k) = (4)(2) + (4)(0) + (4)(-1) = 8 + 0 - 4 = 4$

c) $|(C - B) \times A|$ を求める。

まず、$C - B$ を計算する。

$C - B = (i + j + 3k) - (3i + j + 2k) = (1 - 3)i + (1 - 1)j + (3 - 2)k = -2i + 0j + k = -2i + k$

次に、$(C - B) \times A$ を計算する。

$(C - B) \times A = (-2i + k) \times (2i + 2j + 2k) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = i(0 \cdot 2 - 1 \cdot 2) - j((-2) \cdot 2 - 1 \cdot 2) + k((-2) \cdot 2 - 0 \cdot 2) = -2i - (-4 - 2)j + (-4)k = -2i + 6j - 4k$

最後に、$|(C - B) \times A|$ を計算する。

$|(C - B) \times A| = |-2i + 6j - 4k| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

a) $e = \frac{3}{\sqrt{14}}i + \frac{1}{\sqrt{14}}j + \frac{2}{\sqrt{14}}k$

b) $2A \cdot (B - C) = 4$

c) $|(C - B) \times A| = 2\sqrt{14}$