(5) 次の行列が正則行列であるかどうかを判定し、正則行列であれば逆行列を求めます。 (i) $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ (ii) $\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -8 \end{pmatrix}$ (iii) $\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 4 & a \end{pmatrix}$ (ただし、$a$は定数) (6) 2次の正方行列で、正則行列となるものを2例挙げ、それぞれの逆行列を求めます。 (7) 2次の正方行列で、正則行列とならないものを2例挙げます。

はい、承知いたしました。問題3の(5)から(7)を解きます。

1. 問題の内容

(5) 次の行列が正則行列であるかどうかを判定し、正則行列であれば逆行列を求めます。

(i) $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

(ii) $\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -8 \end{pmatrix}$

(iii) $\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 4 & a \end{pmatrix}$ (ただし、$a$は定数)

(6) 2次の正方行列で、正則行列となるものを2例挙げ、それぞれの逆行列を求めます。

(7) 2次の正方行列で、正則行列とならないものを2例挙げます。

2. 解き方の手順

(5) (i)

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

$\det(A) = (2)(5) - (3)(4) = 10 - 12 = -2$

行列式が0でないので、正則行列です。

逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5/2 & 3/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(5) (ii)

行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -8 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

$\det(B) = (2)(-8) - (-4)(4) = -16 + 16 = 0$

行列式が0なので、正則行列ではありません。

(5) (iii)

行列 $C = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 4 & a \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

$\det(C) = (1)(a) - (-4)(4) = a + 16$

$a + 16 \neq 0$、つまり $a \neq -16$ のとき、正則行列です。

このとき、逆行列は、

$C^{-1} = \frac{1}{a+16} \begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$

$a = -16$ のとき、行列式が0なので、正則行列ではありません。

(6)

例1: $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (単位行列)

$\det(D) = 1$

$D^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

例2: $E = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(E) = 1$

$E^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(7)

例1: $F = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(F) = 1 - 1 = 0$

例2: $G = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (零行列)

$\det(G) = 0$

3. 最終的な答え

(5) (i) 正則行列。逆行列は $\begin{pmatrix} -5/2 & 3/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(5) (ii) 正則行列ではない。

(5) (iii) $a \neq -16$ のとき正則行列。逆行列は $\frac{1}{a+16} \begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$、$a = -16$ のとき正則行列ではない。

(6) 例1: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$、逆行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

例2: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$、逆行列は $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(7) 例1: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

例2: $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$