$A$ を $m \times n$ 行列、$B$ を $n \times l$ 行列、$C$ を $l \times r$ 行列、$D$ を $r \times t$ 行列とする。このとき、以下の5つの行列がすべて等しいことを示す。 (1) $((AB)C)D$ (2) $(AB)(CD)$ (3) $(A(BC))D$ (4) $A((BC)D)$ (5) $A(B(CD))$

1. 問題の内容

$A$ を $m \times n$ 行列、$B$ を $n \times l$ 行列、$C$ を $l \times r$ 行列、$D$ を $r \times t$ 行列とする。このとき、以下の5つの行列がすべて等しいことを示す。

(1) $((AB)C)D$

(2) $(AB)(CD)$

(3) $(A(BC))D$

(4) $A((BC)D)$

(5) $A(B(CD))$

2. 解き方の手順

定理1.2が具体的にどのような内容か不明ですが、行列の結合法則を利用して示すことができると考えられます。行列の積は結合法則を満たすので、$(XY)Z = X(YZ)$が成り立ちます。

(1) $((AB)C)D$

(2) $(AB)(CD)$

(3) $(A(BC))D$

(4) $A((BC)D)$

(5) $A(B(CD))$

まず、(1)と(3)を比較します。行列の積の結合法則より、$(AB)C = A(BC)$ であるから、

$((AB)C)D = (A(BC))D$

したがって、(1) = (3)

次に、(4)と(5)を比較します。行列の積の結合法則より、$(BC)D = B(CD)$ であるから、

$A((BC)D) = A(B(CD))$

したがって、(4) = (5)

次に、(2)と(4)を比較します。行列の積の結合法則より、$(AB)(CD) = A(B(CD))$ であるから、

$(AB)(CD) = A(B(CD))$

したがって、(2) = (5)

これまでの結果から、(1)=(3), (4)=(5), (2)=(5) がわかっています。

ここで、(1)と(4)を比較することを考えます。

$((AB)C)D$ と $A((BC)D)$ です。

行列の積の結合法則を繰り返し用いることで、

$((AB)C)D = (AB)(CD) = A(B(CD)) = A((BC)D) = (A(BC))D$

したがって、(1) = (2) = (3) = (4) = (5) が成り立ちます。

3. 最終的な答え

すべての行列は等しい：

$((AB)C)D = (AB)(CD) = (A(BC))D = A((BC)D) = A(B(CD))$